Резистор у миллиамперметра

Подумайте, что происходит с резистором, когда его включают параллельно миллиамперметру, сопротивление которого мало. После этого ток в цепи определяет один вольтметр.

\(R_V=800\) Ом,  \(R\approx270\) Ом (точнее \(267\) Ом).

Что происходит. Батарейка идеальная, её ЭДС \(\mathcal{E}\) — всё напряжение цепи. Миллиамперметр считаем идеальным, то есть его сопротивление нулевое (о других приборах в задаче не сказано, а без этого данных не хватило бы: неизвестных четыре — \(\mathcal{E}\), сопротивление миллиамперметра, \(R\) и \(R_V\)). Тогда в первой схеме напряжение на вольтметре равно \(\mathcal{E}\). Во второй схеме резистор оказывается подключён параллельно идеальному миллиамперметру, то есть закорочен, и ток течёт только через вольтметр.

Обозначения. \(R\) — сопротивление резистора, \(R_V\) — сопротивление вольтметра, \(I_{\text{В}}\) и \(I_R\) — токи через вольтметр и резистор в первой схеме.

1. Первая схема. Вольтметр и резистор соединены параллельно и подключены к батарейке через миллиамперметр без сопротивления, поэтому напряжение на каждом из них равно \(U=\mathcal{E}=2\) В. Закон Ома для каждой ветви и первое правило Кирхгофа для узла (ток миллиамперметра делится на два) дают \[I=I_{\text{В}}+I_R=\frac{U}{R_V}+\frac{U}{R}.\]

2. Вторая схема. Теперь резистор подключён к тем же двум точкам, что и миллиамперметр, значит, напряжение на нём равно напряжению на миллиамперметре. У идеального миллиамперметра оно нулевое, поэтому ток через резистор равен нулю: резистор закорочен, весь ток идёт через миллиамперметр. Цепь такая: батарейка, миллиамперметр, вольтметр — последовательно. Падения напряжения на миллиамперметре и на внутреннем сопротивлении батарейки нет, поэтому на вольтметре по-прежнему \(U=\mathcal{E}=2\) В, и \[I'=\frac{U}{R_V}\quad\Longrightarrow\quad R_V=\frac{U}{I'}=\frac{2\text{ В}}{2{,}5\cdot10^{-3}\text{ А}}=800\text{ Ом}.\]

3. Сопротивление резистора. Из уравнения первой схемы ток через резистор \(I_R=I-\dfrac{U}{R_V}=I-I'=7{,}5\) мА, откуда \[R=\frac{U}{I-I'}=\frac{2\text{ В}}{7{,}5\cdot10^{-3}\text{ А}}\approx267\text{ Ом}.\] Обратите внимание: резистор, включённый параллельно идеальному миллиамперметру, никак не влияет на показание этого миллиамперметра. Поэтому второе измерение даёт \(R_V\) сразу, а \(R\) находится из первого.

Проверка. Размерность: \(\text{В}/\text{А}=\text{Ом}\). Сумма токов в первой схеме: \(U/R_V+U/R=2{,}5+7{,}5=10\) мА, как в условии. Предел: если бы \(I'\) стало равно \(I\), то весь ток шёл бы через вольтметр и \(R\to\infty\) (резистора нет); если бы \(I'\to0\), то \(R_V\to\infty\) (идеальный вольтметр, как и должно быть при нулевом токе через него).

Ответ: \(R_V=\dfrac{U}{I'}=800\) Ом,  \(R=\dfrac{U}{I-I'}\approx267\) Ом.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.