Шайба в брусике

Решение

До тех пор пока шайба не окажется в наинизшем положении, брусок будет касаться стенки. К этому моменту времени шайба приобретёт скорость \(v\), которую найдём из закона сохранения энергии: \(v^2 = 2gr\). При последующем движении системы шайба будет «забираться» на правую половину бруска, всё время ускоряя его вправо (рис. 161), пока наконец скорости шайбы и бруска не сравняются. Далее шайба относительно бруска начнёт соскальзывать вниз, при этом, пока она опять не пройдёт низшее положение, брусок всё ещё будет ускоряться. Таким образом, максимальная скорость бруска будет в моменты прохождения шайбой низшего положения при её движении назад относительно бруска.

Чтобы найти максимальную скорость бруска, запишем закон сохранения импульса после того, как брусок «оторвётся» от стенки: \[m_2\sqrt{2gr} = m_1v_1 + m_2v_2,\] и закон сохранения энергии для моментов прохождения шайбой низшего положения: \[m_2gr = \frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2}.\] Написанная система уравнений имеет два решения:

1. \(v_1 = 0\), \(v_2 = \sqrt{2gr}\),

2. \(v_1 = \dfrac{2m_2}{m_1+m_2}\sqrt{2gr}\), \(v_2 = \dfrac{m_2-m_1}{m_1+m_2}\sqrt{2gr}\).

Решение 1 отвечает моментам времени, когда шайба движется, а брусок находится в покое. Нас интересует решение 2, отвечающее тем моментам времени, когда брусок имеет максимальную скорость: \[v_{1\max} = 2m_2\sqrt{2gr}/(m_1+m_2).\]