Колесо-одометр на санях

Перейдите в систему отсчёта, движущуюся вместе с центром колеса: она инерциальна, и груз в ней равномерно движется по окружности. Выясните, в каком положении груза сила давления колеса на дорогу минимальна.

\(v_{\min}=\sqrt{gR\left(1+\dfrac{M}{m}\right)}\), \(R=\dfrac{1}{2\pi}\text{ м}\); \(v_{\min}\approx5\text{ м/с}\).

Что происходит. Сани едут равномерно, колесо катится без проскальзывания, и его центр \(O\) движется прямолинейно с той же скоростью \(v\). Система отсчёта, связанная с центром колеса, инерциальна. В ней колесо просто вращается, а груз \(m\) движется по окружности радиуса \(R\) с постоянной по модулю скоростью \(v\) (скорость точки обода относительно центра при качении без проскальзывания равна скорости центра). Груз при этом имеет центростремительное ускорение \(v^2/R\), и обод давит на колесо с силой, которая зависит от положения груза. Колесо подпрыгнет, когда сила реакции дороги \(N\) обратится в нуль. Главная идея: записать, как \(N\) зависит от положения груза, и найти положение, в котором \(N\) минимальна.

Обозначения. \(R=\dfrac{1}{2\pi}\) м — радиус колеса (длина окружности \(2\pi R=1\) м); \(\theta\) — угол между радиусом \(OA\) к грузу и вертикалью вверх; \(\vec Q\) — сила, действующая на груз со стороны обода; \(a_{\text{ц}}=v^2/R\). Груз считаем материальной точкой, а массу колеса \(M\) — без груза.

1. Груз в верхней точке. На груз действуют сила тяжести \(m\vec g\) и сила \(\vec Q\) со стороны обода. Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на вертикаль вниз, потому что в верхней точке ускорение направлено вниз, к центру: \[mg+Q=\frac{mv^2}{R}\quad\Rightarrow\quad Q=\frac{mv^2}{R}-mg .\] Колесо давит на груз вниз, если \(Q>0\), и по третьему закону Ньютона груз давит на колесо вверх с силой \(Q'=Q\). Значит, при \(v^2>gR\) груз «тянет» колесо вверх.

2. Груз в произвольном положении. Возьмём систему «колесо + груз». Её центр масс по вертикали ускоряется только из-за груза: центр колеса по вертикали неподвижен (колесо катится по ровной дороге), а груз имеет вертикальную проекцию ускорения \(-\dfrac{v^2}{R}\cos\theta\) (вниз, к центру). Внешние вертикальные силы — тяжесть \((M+m)\vec g\) и реакция дороги \(\vec N\); горизонтальные силы вертикаль не меняют. Запишем теорему о движении центра масс в проекции на вертикаль вверх: \[N-(M+m)g=-\,m\frac{v^2}{R}\cos\theta\quad\Rightarrow\quad N=(M+m)g-\frac{mv^2}{R}\cos\theta .\]

3. Где колесо отрывается первым. \(N\) минимальна при \(\cos\theta=1\), то есть когда груз находится в верхней точке. Значит, колесо раньше всего перестанет давить на дорогу именно в этот момент, и условие отрыва достаточно записать для верхней точки: \(N=0\), \(\theta=0\).

4. Условие отрыва. В верхней точке \(N=0\) при \[(M+m)g=\frac{mv^2}{R}\quad\Rightarrow\quad v_{\min}=\sqrt{gR\left(1+\frac{M}{m}\right)} .\] Тот же результат получается из силы \(Q'\): на колесо вверх действует \(Q'=\dfrac{mv^2}{R}-mg\), и отрыв начинается, когда \(Q'=Mg\).

Обратите внимание: масса \(M\) стоит в числителе, а не в знаменателе: чем тяжелее колесо, тем труднее ему подпрыгнуть. В статье формула записана с отношением \(m/M\) — это опечатка: численный ответ журнала \(\approx5\) м/с получается только из \(1+M/m\).

Ответ: \(v_{\min}=\sqrt{gR\left(1+\dfrac{M}{m}\right)}\). Подставляем \(R=\dfrac{1}{2\pi}\approx0{,}159\) м, \(\dfrac{M}{m}=15\), \(g=9{,}8\text{ м/с}^2\): \[v_{\min}=\sqrt{9{,}8\cdot0{,}159\cdot16}\text{ м/с}\approx5{,}0\text{ м/с}\ (\approx18\text{ км/ч}).\]

Проверка. Размерность: \(\sqrt{gR}\) — м/с. Предельный случай \(M/m\to0\) (колесо много легче груза): \(v_{\min}\to\sqrt{gR}\), то есть скорость, при которой груз в верхней точке невесом и перестаёт давить на колесо вниз; для лёгкого колеса этого достаточно, чтобы оно оторвалось. При \(M/m\to\infty\) скорость растёт: колесо тяжёлое, и груз должен «тянуть» его вверх сильнее. Смысл результата: колесо подпрыгивает, когда центростремительная сила груза в верхней точке превышает вес всей системы «колесо + груз».

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.