Диод и конденсатор

При токе диод ведёт себя как источник с постоянным напряжением \(U_0\) <<против>> тока, а при \(I=0\) ток прекращается. Запишите закон сохранения энергии: работа источника идёт на заряд конденсатора, на нагрев диода и нагрев резистора.

\(Q_R=\dfrac{C\,(E-U_0)^2}{2}\) при \(E>U_0\); при \(E\le U_0\) ток не идёт и \(Q_R=0\).

Что происходит. Идеализированная характеристика (рис. 5, б) означает: пока напряжение на диоде меньше \(U_0\), ток равен нулю; при токе напряжение на диоде равно \(U_0\), как бы велик ни был ток. После замыкания ключа ток течёт, пока конденсатор заряжается, и напряжение на диоде при этом равно \(U_0\). Ток прекращается, когда напряжение на диоде падает до \(U_0\) при нулевом токе, то есть когда сумма \(U_0\) и напряжения на конденсаторе сравнивается с \(E\). Главная идея: найти заряд конденсатора по условию прекращения тока, затем записать закон сохранения энергии для всей цепи.

Обозначения. \(q\) — заряд, прошедший по цепи и оказавшийся на конденсаторе в конце; \(U_C\) — конечное напряжение на конденсаторе; \(A\) — работа источника; \(W\) — энергия заряженного конденсатора; \(Q_{\text{д}}\) и \(Q_R\) — количества теплоты, выделившиеся на диоде и на резисторе. Считаем \(E>U_0\) (иначе тока нет совсем и \(Q_R=0\)).

1. Конечное состояние. В конце ток равен нулю, поэтому напряжение на резисторе равно нулю. Диод проводит, пока на нём напряжение \(U_0\), и закрывается, когда его напряжение не превышает \(U_0\). Закон Кирхгофа (сумма напряжений по контуру равна э. д. с.) в конце: \(E=U_0+U_C+0\), откуда \[U_C=E-U_0,\qquad q=CU_C=C\,(E-U_0).\]

2. Работа источника. Источник переносит заряд \(q\) при э. д. с. \(E\): \(A=Eq=CE\,(E-U_0)\) (внутреннее сопротивление источника равно нулю, тепло в нём не выделяется).

3. Куда ушла энергия. Закон сохранения энергии для цепи: \(A=W+Q_{\text{д}}+Q_R\). Энергия конденсатора \(W=\dfrac{q^2}{2C}=\dfrac{C(E-U_0)^2}{2}\). На диоде при токе \(I\) выделяется мощность \(U_0I\), а за всё время зарядки — \(Q_{\text{д}}=U_0q=CU_0(E-U_0)\). Тогда \[Q_R=A-W-Q_{\text{д}}=C(E-U_0)\left[E-\frac{E-U_0}{2}-U_0\right]=\frac{C(E-U_0)^2}{2}.\]

4. Второй способ. Ток в цепи через резистор: \(RI=E-U_0-\dfrac{q}{C}\), откуда \(I=\dfrac{E-U_0}{R}e^{-t/RC}\). Тогда \(Q_R=\int_0^\infty I^2R\,dt=\dfrac{(E-U_0)^2}{R}\cdot\dfrac{RC}{2}=\dfrac{C(E-U_0)^2}{2}\) — тот же результат.

Обратите внимание: на резисторе выделяется ровно столько же тепла, сколько запасается в конденсаторе (как и без диода, с заменой \(E\to E-U_0\)): диод только уменьшает э. д. с. на \(U_0\), а сам съедает долю \(U_0q\) работы источника.

Ответ: \(Q_R=\dfrac{C\,(E-U_0)^2}{2}\) при \(E>U_0\); при \(E\le U_0\) ток не идёт и \(Q_R=0\).

Проверка. Размерность: \(CU^2\) — джоуль. Предельный случай \(U_0\to0\) (идеальный диод без порога): \(Q_R=\dfrac{CE^2}{2}\) — известный результат для зарядки конденсатора от источника через резистор (половина работы источника уходит в тепло). При \(U_0\to E\) заряд и тепло стремятся к нулю: ток не идёт. Для рисунка взято \(E=4U_0\), \(C=1\): \(A=12\), \(W=4{,}5\), \(Q_{\text{д}}=3\), \(Q_R=4{,}5\) (в единицах \(CU_0^2\)).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.