Шайба на шероховатом столе

Разделите основание шайбы на малые участки: сила трения на каждом направлена против его скорости и по модулю одинакова. Сложите силы парами симметричных участков.

Центр шайбы движется по прямой вдоль \(\vec v_0\). Больший путь шайба проходит при \(\omega_0\ne0\): сила трения на её центр тогда меньше \(\mu mg\), а при \(\omega_0=0\) путь равен \(s_0=v_0^2/(2\mu g)\).

Что происходит. Все точки основания шайбы скользят по поверхности, но с разными скоростями: скорость точки — сумма скорости центра и скорости вращения вокруг центра. На каждый малый участок основания действует трение скольжения, направленное против скорости этого участка; сила на всю шайбу — сумма таких сил. Главная идея: сложить их с помощью симметрии. Окажется, что суммарная сила направлена против скорости центра (значит, траектория центра — прямая) и что при вращении она меньше, чем \(\mu mg\).

Обозначения. Шайба однородная и тонкая, поэтому давление на поверхность распределено по основанию равномерно: на участок площади \(dA\) приходится нормальная сила \(\sigma\,dA\) с одинаковым \(\sigma=mg/(\pi R^2)\), и на него действует трение \(\mu\sigma\,dA\). \(O\) — центр шайбы, \(\vec v\) — его скорость, \(\vec\omega\) — угловая скорость (вертикальная ось), \(\vec r\) — положение участка относительно \(O\), \(\vec u\) — скорость участка относительно поверхности.

Пункт 1. Траектория центра.

1. Скорости участков. Скорость любой точки основания \(\vec u=\vec v+\vec\omega\times\vec r\). Найдём точку \(C\), в которой \(\vec u=0\) (мгновенный центр вращения): она лежит в плоскости основания на перпендикуляре к \(\vec v\), проведённом через \(O\), на расстоянии \(v/\omega\) от \(O\). Относительно \(C\) скорость любой точки такая же, как при чистом вращении: \(\vec u=\vec\omega\times(\vec r-\vec r_C)\). Значит, скорость каждого участка перпендикулярна отрезку от него до \(C\).

2. Силы на участки. Трение на участок направлено против \(\vec u\): оно перпендикулярно отрезку от участка до \(C\) и повёрнуто всюду в сторону, противоположную вращению; модуль силы у всех участков одинаков.

3. Сложение симметричных пар. Возьмём два участка \(P\) и \(P'\), симметричных относительно прямой \(OC\) (шайба относительно неё симметрична). Отрезки \(CP\) и \(CP'\) — зеркальные отражения друг друга, а направление вращения при отражении меняется на противоположное, поэтому силы \(\vec f_1\) и \(\vec f_2\) имеют равные по модулю и противоположные по знаку составляющие вдоль \(OC\), а составляющие поперёк \(OC\) одинаковы и складываются. Вся шайба разбивается на такие пары, поэтому полная сила трения \(\vec F\) перпендикулярна \(OC\). Но \(OC\perp\vec v\), значит \(\vec F\parallel\vec v\).

4. Траектория. Второй закон Ньютона для центра шайбы: \(m\,d\vec v/dt=\vec F\). Раз \(\vec F\) всё время направлена вдоль \(\vec v\), поперечного ускорения нет, направление \(\vec v\) не меняется, и центр движется по прямой вдоль \(\vec v_0\). Такая же прямая и без вращения: тогда все участки имеют одинаковую скорость \(\vec v\), сила \(\mu mg\) направлена против неё.

Пункт 2. Сравнение путей.

5. Без вращения. Сила \(\mu mg\) постоянна, ускорение торможения \(\mu g\), путь \[s_0=\frac{v_0^2}{2\mu g}.\]

6. Сила при вращении: направление. Возьмём участок \(P\) и участок \(P''\), симметричный ему относительно \(O\). Их скорости \(\vec a=\vec v+\vec w\) и \(\vec b=\vec v-\vec w\), где \(\vec w=\vec\omega\times\vec r\); сумма \(\vec a+\vec b=2\vec v\). Силы на малые участки равны \(-\mu\sigma\,dA\,\vec a/a\) и \(-\mu\sigma\,dA\,\vec b/b\). Для суммы единичных векторов \(\hat a=\vec a/a\) и \(\hat b=\vec b/b\) верно \[(\hat a+\hat b)\cdot(\vec a+\vec b)=(a+b)\,(1+\cos\gamma)\ge0,\] где \(\gamma\) — угол между \(\vec a\) и \(\vec b\). Значит, проекция суммы сил пары на \(\vec v\) не положительна: трение центр только тормозит, никогда не разгоняет.

7. Сила при вращении: модуль. Проекция одного единичного вектора на \(\hat v\) не превышает \(1\). Поэтому сумма сил пары на оси \(\vec v\) по модулю не больше \(2\mu\sigma\,dA\), то есть не больше, чем при отсутствии вращения, и строго меньше, если \(\vec a\) и \(\vec b\) не параллельны \(\vec v\). При \(\omega\ne0\) это так у большинства пар (скорость вращения \(\vec w\) перпендикулярна радиусу). Суммируя по всем парам, получаем \[F<\mu\sigma\pi R^2=\mu mg\qquad(\omega\ne0).\]

8. Путь. Ускорение торможения центра \(a=F/m\le\mu g\) в любой момент: при вращении оно меньше, без вращения — равно \(\mu g\). Значит, скорость центра убывает не быстрее, чем при \(\omega_0=0\): \(v(t)\ge v_0-\mu gt\) до остановки, а раз скорость в каждый момент больше, больше и путь \(\int v\,dt\). Итак, шайба с \(\omega_0\ne0\) пройдёт больший путь.

Для оценки величины эффекта интегрирование по основанию шайбы и уравнение вращения \(\tfrac12mR^2\dot\omega=-M_{\text{тр}}\) дали на компьютере такой результат: скорость центра и угловая скорость обращаются в нуль одновременно, а путь растёт с \(\omega_0\) — в \(1{,}3\) раза при \(\omega_0R=v_0\) и почти вдвое при \(\omega_0R=2v_0\) (график).

Обратите внимание: сила трения, направленная против \(\vec v\), равна \(\mu mg\) только без вращения. При вращении скорости участков направлены в разные стороны (у некоторых — даже назад), их силы частично гасят друг друга, и сила на центр меньше.

Ответ. Центр шайбы движется по прямой вдоль \(\vec v_0\) при любом \(\omega_0\). Путь при \(\omega_0\ne0\) больше пути \(s_0=\dfrac{v_0^2}{2\mu g}\) при \(\omega_0=0\).

Проверка. Предел \(\omega_0\to0\): точка \(C\) уходит на бесконечность, скорости всех участков одинаковы, сила равна \(\mu mg\), \(s\to s_0\) — как на графике при \(\omega_0R/v_0\to0\). Предел \(v_0\to0\) при \(\omega_0\ne0\): \(C\) совпадает с \(O\), силы участков, лежащих по окружностям вокруг \(O\), взаимно гасятся, центр остаётся на месте — разумно: шайба только крутится, не сдвигаясь. Предел \(\omega_0R\gg v_0\): сила на центр мала, и путь велик, как показывает рост графика.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.