Разрезанный заряженный шар

Заряд металлического шара сосредоточен на поверхности. На каждый участок поверхности действует сила от всех остальных зарядов — это <<электрическое давление>>. Сложите силы, действующие на меньшую часть, и найдите их проекцию на ось, перпендикулярную разрезу.

\(F=\dfrac{Q^2\,(R^2-h^2)}{32\pi\varepsilon_0R^4}\) (в СГС \(F=\dfrac{Q^2(R^2-h^2)}{8R^4}\)).

Что происходит. Заряд уединённого проводящего шара равномерно распределён по поверхности. Каждый малый участок заряженной поверхности отталкивается от всех остальных зарядов шара, поэтому на него действует сила, направленная по нормали наружу. Эту силу удобно описывать давлением \(p\) (силой на единицу площади). Чтобы найти силу, действующую на отрезанную часть, нужно сложить силы давления по её поверхности. Главная идея: сумма проекций сил давления на ось, перпендикулярную плоскости разреза, равна произведению давления на площадь проекции поверхности на эту плоскость.

Обозначения. \(\sigma=\dfrac{Q}{4\pi R^2}\) — поверхностная плотность заряда; \(r=\sqrt{R^2-h^2}\) — радиус круга разреза; \(dA\) — площадь малого участка; ось \(z\) перпендикулярна разрезу и направлена от меньшей части наружу. Рассматриваем меньшую часть (при \(h>0\)); для другой части сила та же по модулю, по третьему закону Ньютона. Заряд в момент разрезания остаётся распределённым равномерно.

1. Электрическое давление. Поле у самой поверхности проводника \(E_{\text{вне}}=\sigma/\varepsilon_0\) (теорема Гаусса), внутри проводника поле равно нулю. На заряд участка действует поле всех остальных зарядов, а не его собственное; поле самого участка по обе стороны поверхности равно \(\pm\sigma/2\varepsilon_0\), поэтому поле остальных зарядов равно полусумме полей снаружи и внутри: \(\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\). Сила на участок \(dF=\sigma\,dA\cdot\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\), то есть давление \[p=\frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}=\frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0R^4}.\] Сила направлена по нормали к поверхности наружу.

2. Сила на меньшую часть. Нужно сложить силы \(dF=p\,dA\) по поверхности шарового сегмента. Силы, перпендикулярные оси \(z\), в сумме дают нуль (по симметрии), остаётся \[F=\int p\,\cos\alpha\,dA=p\int\cos\alpha\,dA ,\] где \(\alpha\) — угол между нормалью к участку и осью \(z\). Величина \(\cos\alpha\,dA\) — площадь проекции участка на плоскость разреза, а проекция всего сегмента — круг радиуса \(r\). Поэтому \(\int\cos\alpha\,dA=\pi r^2=\pi(R^2-h^2)\).

3. Результат. Подставляем: \[F=p\,\pi(R^2-h^2)=\frac{Q^2\,(R^2-h^2)}{32\pi\varepsilon_0R^4}.\] Эту же силу создаёт другая часть шара: по третьему закону Ньютона сила, действующая на вторую часть, такая же по модулю и направлена в противоположную сторону. Внутри каждой части суммарная сила взаимодействия её зарядов между собой равна нулю.

Обратите внимание: сила не равна кулоновскому отталкиванию двух точечных зарядов и не зависит от того, как ведут себя заряды внутри металла: заряд в момент разрезания не успевает перераспределиться, и нужно считать именно давление на поверхность. Площадь, которую надо брать, — не поверхность сегмента, а площадь его проекции \(\pi(R^2-h^2)\).

Ответ: \(F=\dfrac{Q^2\,(R^2-h^2)}{32\pi\varepsilon_0R^4}\) (в СГС \(F=\dfrac{Q^2(R^2-h^2)}{8R^4}\)).

Проверка. Размерность: \(\dfrac{Q^2}{\varepsilon_0R^2}\) — как сила Кулона \(\dfrac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0R^2}\), умноженная на безразмерное. Предельные случаи: при \(h=0\) (шар разрезан пополам) \(F=\dfrac{Q^2}{32\pi\varepsilon_0R^2}\) — известное значение для полушарий (давление \(\sigma^2/2\varepsilon_0\) на площадь \(\pi R^2\)); при \(h\to R\) отрезается малая шапочка, \(F\to0\), как и должно быть, так как её площадь проекции стремится к нулю.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.