Гонки по кольцу

Разгонять автомобиль может только сила трения о дорогу, и её модуль ограничен. На прямой она вся идёт на разгон, на повороте часть её нужна, чтобы поворачивать.

\(t\approx0{,}14\text{ с}\); скорость выше \(10\text{ м/с}\) не удастся увеличить при \(R\le20\text{ м}\).

Что происходит. Автомобиль разгоняется и поворачивает только за счёт силы трения покоя между шинами и дорогой (дорога горизонтальна, сопротивлением воздуха пренебрегаем). Эта сила ограничена по модулю: \(F\le\mu mg\). На прямой участке вся она направлена вдоль движения. На кольце её приходится делить: одна составляющая даёт центростремительное ускорение, другая разгоняет. Полное ускорение по модулю не может превысить прежнее максимальное значение.

Обозначения. \(m\) — масса автомобиля, \(\mu\) — коэффициент трения шин о дорогу, \(a_{\max}\) — наибольшее возможное по модулю ускорение, \(a_\tau\) — касательное ускорение (меняет скорость), \(a_n=v^2/R\) — нормальное (центростремительное).

1. Предельное ускорение. На прямом участке автомобиль набирает скорость при наибольшем ускорении, поэтому \[a_{\max}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{10{,}5\text{ м/с}-10{,}0\text{ м/с}}{0{,}1\text{ с}}=5\text{ м/с}^2\qquad(\mu=a_{\max}/g\approx0{,}5).\]

2. Разгон на кольце. Запишем второй закон Ньютона для автомобиля векторно: \(m\vec a=\vec F_{\text{тр}}\), ускорение раскладываем на касательную и нормальную составляющие (рисунок). Они перпендикулярны, поэтому по теореме Пифагора \[a_\tau^2+a_n^2=a^2\le a_{\max}^2 .\] Наибольшая скорость набора — при \(a=a_{\max}\). Тогда \[a_\tau=\sqrt{a_{\max}^2-\Bigl(\frac{v^2}{R}\Bigr)^2}.\]

Скорость меняется всего на 5 %, от \(10{,}0\) до \(10{,}5\text{ м/с}\), поэтому берём среднюю \(v=10{,}25\text{ м/с}\): \(a_n=v^2/R\approx3{,}5\text{ м/с}^2\) и \[a_\tau=\sqrt{5^2-3{,}5^2}\approx3{,}6\text{ м/с}^2 .\] Касательное ускорение постоянно с точностью до этого приближения, и \(\Delta v=a_\tau t\), откуда \[t=\frac{\Delta v}{a_\tau}=\frac{0{,}5\text{ м/с}}{3{,}6\text{ м/с}^2}\approx0{,}14\text{ с}.\] Обратите внимание: ускорение на кольце не сравнивают с \(5\text{ м/с}^2\) по одной составляющей. Предельным по модулю остаётся полное ускорение, и поворот забирает у разгона часть сцепления с дорогой.

3. Когда разгон невозможен. Автомобиль не может увеличить скорость, если вся сила трения уходит на поворот: \(a_\tau=0\), то есть \(v^2/R=a_{\max}\). При скорости \(v=10\text{ м/с}\) это даёт \[R=\frac{v^2}{a_{\max}}=\frac{(10\text{ м/с})^2}{5\text{ м/с}^2}=20\text{ м}.\] Чем меньше радиус, тем больше нужное нормальное ускорение; при \(R\le20\text{ м}\) скорость \(10\text{ м/с}\) уже предельная (выше — занос).

Проверка. Размерность: \(\text{м/с}\big/\text{м/с}^2=\text{с}\). Предел \(R\to\infty\): \(a_n\to0\), \(a_\tau\to a_{\max}\), \(t\to0{,}1\text{ с}\), как на прямой. При \(R=20\text{ м}\) время разгона стремится к бесконечности: сцепления на разгон не остаётся. Численное интегрирование \(t=\int_{10}^{10{,}5}dv\big/\sqrt{a_{\max}^2-v^4/R^2}\) даёт \(0{,}140\text{ с}\), то есть замена средней скоростью точна.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.