Два амперметра

Амперметры без сопротивления — это провода, точки их подключения имеют одинаковые потенциалы. Посмотрите, под каким напряжением оказываются тогда все три резистора.

\(I=0{,}4\text{ А}\) или \(I=0{,}35\text{ А}\): условие не говорит, какие два резистора поменяли и какой амперметр что показывал, и обе возможности осуществимы (см. решение).

Что происходит. Идеальный амперметр — провод. Верхний амперметр соединяет левый узел \(M\) с узлом \(K\) между вторым и третьим резисторами, нижний — узел \(N\) между первым и вторым с нижним правым узлом \(L\). Значит, потенциалы \(M\) и \(K\) одинаковы, потенциалы \(N\) и \(L\) тоже, и все три резистора оказываются под одним напряжением батареи \(U\) — включены параллельно. Токи \(I_i=U/R_i\) найдём через показания амперметров, а затем используем условие, что после обмена резисторов показания не изменились.

Обозначения. \(I_1,I_2,I_3\) — токи через резисторы \(R_1,R_2,R_3\), \(I\) — ток батареи, \(I_{A1}\) и \(I_{A2}\) — показания верхнего и нижнего амперметров, \(U\) — напряжение батареи.

1. Схема как параллельное соединение. Между \(M\) и \(N\) напряжение батареи \(U\) (\(N\) и \(L\) — одна точка), между \(N\) и \(K\) тоже \(U\) (\(K\) и \(M\) — одна точка), между \(K\) и \(L\) тоже \(U\). Положительный полюс батареи — левый вывод, ток течёт по схеме слева направо (рисунок), поэтому \(I_i=U/R_i>0\).

2. Токи через амперметры. В узле \(K\) ток от верхнего амперметра раздваивается и уходит в \(R_2\) (налево) и \(R_3\) (направо), поэтому \(I_{A1}=I_2+I_3\) (закон сохранения заряда для узла \(K\)). В узел \(N\) приходят токи \(I_1\) и \(I_2\) и уходят через нижний амперметр: \(I_{A2}=I_1+I_2\). Ток батареи \(I=I_1+I_2+I_3\).

3. Что значит «поменяли два резистора». Каждый резистор по-прежнему под напряжением \(U\), поэтому после обмена токи просто переставляются между местами. Разберём три варианта.

• Поменяли \(R_1\) и \(R_2\): новое показание верхнего амперметра \(I_1+I_3\) должно совпасть с \(I_2+I_3\), то есть \(I_1=I_2=x\); обозначим \(I_3=y\). Тогда \(I_{A1}=x+y\), \(I_{A2}=2x\).

• Поменяли \(R_2\) и \(R_3\): нижнее показание \(I_1+I_3\) должно совпасть с \(I_1+I_2\), то есть \(I_2=I_3=y\); обозначим \(I_1=x\). Тогда \(I_{A1}=2y\), \(I_{A2}=x+y\).

• Поменяли \(R_1\) и \(R_3\): оба показания остаются прежними только при \(I_1=I_3\), но тогда \(I_{A1}=I_2+I_3=I_{A2}\), а в условии \(0{,}2\ne0{,}3\). Такой обмен невозможен.

4. Числа. В обоих допустимых вариантах одно показание равно удвоенному току (обозначим его \(2z\)), другое — сумме токов \(x+y\); ток батареи равен другому показанию плюс \(z\): \(I=(x+y)+z\) (в первом варианте \(z=x\), во втором \(z=y\)). Если удвоенному току отвечает \(0{,}2\text{ А}\): \(z=0{,}1\text{ А}\), другое показание \(0{,}3\text{ А}\) (оставшийся ток \(0{,}2\text{ А}\)), и \(I=0{,}3+0{,}1=0{,}4\text{ А}\). Если удвоенному току отвечает \(0{,}3\text{ А}\): \(z=0{,}15\text{ А}\), другое показание \(0{,}2\text{ А}\) (оставшийся ток \(0{,}05\text{ А}\)), и \(I=0{,}2+0{,}15=0{,}35\text{ А}\).

Обратите внимание: условие не говорит, какой амперметр показывает \(0{,}2\text{ А}\) и какие резисторы менялись, а оба варианта (поменяли \(R_1\) с \(R_2\) или \(R_2\) с \(R_3\)) допускают оба распределения показаний, поэтому подходят оба значения тока.

Проверка. Размерность: ампер, сумма токов ветвей. Например, \(I_1=I_2=0{,}1\text{ А}\), \(I_3=0{,}2\text{ А}\): \(I_{A1}=I_2+I_3=0{,}3\text{ А}\), \(I_{A2}=I_1+I_2=0{,}2\text{ А}\), \(I=0{,}4\text{ А}\); после обмена \(R_1\) и \(R_2\) токи \(0{,}1;0{,}1;0{,}2\) остаются теми же, показания не меняются — верно. Второй пример (обмен \(R_2\) и \(R_3\)): \(I_1=0{,}2\text{ А}\), \(I_2=I_3=0{,}1\text{ А}\) даёт \(I_{A1}=0{,}2\text{ А}\), \(I_{A2}=0{,}3\text{ А}\), \(I=0{,}4\text{ А}\). Третий (обмен \(R_1\) и \(R_2\)): \(I_1=I_2=0{,}15\text{ А}\), \(I_3=0{,}05\text{ А}\) даёт \(I_{A1}=0{,}2\text{ А}\), \(I_{A2}=0{,}3\text{ А}\), \(I=0{,}35\text{ А}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.