Четыре амперметра и резистор

Амперметр — тоже сопротивление, и у всех четырёх оно одинаковое. Напряжение на нём равно току, умноженному на это сопротивление, поэтому по показаниям \(A_1\) и \(A_2\) видно, как соотносятся потенциалы узлов.

Через \(A_3\) течёт \(1\text{ А}\) (от нижнего узла к верхнему), через \(A_4\) — \(4\text{ А}\), через резистор — \(1\text{ А}\); \(\dfrac{r}{R}=\dfrac15=0{,}2\).

Что происходит. Амперметр с внутренним сопротивлением \(r\) — это обычный резистор; три закона: закон Ома для участка, сохранение заряда в узле (первое правило Кирхгофа) и то, что работа поля по замкнутому контуру равна нулю (разности потенциалов вдоль двух путей между одними узлами одинаковы). Главная идея: все амперметры одинаковы, поэтому напряжение на каждом равно \(I\,r\), и узловые потенциалы выражаются через токи в долях \(r\).

Обозначения. \(L\) и \(P\) — левый и правый узлы, к которым подключён источник; \(M_1\) — верхний, \(M_2\) — нижний узлы, между которыми стоит \(A_3\). Пусть ток источника идёт слева направо (\(L\to P\)): при обратной полярности все токи меняют направление, числа те же. \(r\) — сопротивление амперметра, \(I_k\) — ток через амперметр \(A_k\), \(I_R\) — ток через \(R\); направление тока в \(A_3\) заранее неизвестно, оно получится из потенциалов.

1. Токи через \(A_1,A_2\) известны: \(I_1=2\text{ А}\) течёт от \(L\) к \(M_2\), \(I_2=3\text{ А}\) — от \(L\) к \(M_1\).

2. Разность потенциалов между \(M_1\) и \(M_2\). Закон Ома для участка \(A_2\): \(\varphi_L-\varphi_{M_1}=I_2r=3r\cdot(1\text{ А})\); для \(A_1\): \(\varphi_L-\varphi_{M_2}=I_1r=2r\cdot(1\text{ А})\). Вычитаем: \[\varphi_{M_2}-\varphi_{M_1}=(3-2)\,r\cdot1\text{ А}=r\cdot1\text{ А}.\] Нижний узел \(M_2\) потенциально выше верхнего \(M_1\), поэтому ток через \(A_3\) идёт снизу вверх, от \(M_2\) к \(M_1\), и по закону Ома для \(A_3\) его значение \(I_3=\dfrac{\varphi_{M_2}-\varphi_{M_1}}{r}=1\text{ А}\).

3. Токи через \(A_4\) и \(R\). Закон сохранения заряда для узла \(M_1\): в него втекает \(I_2+I_3=3+1=4\text{ А}\), вытекает через \(A_4\); значит \(I_4=4\text{ А}\). Для узла \(M_2\): втекает \(I_1=2\) А, вытекает \(I_3=1\) А вверх и через резистор \(I_R\); \(I_R=2-1=1\text{ А}\). Проверка узла \(P\): \(I_4+I_R=5\text{ А}=I_1+I_2\).

4. Отношение сопротивлений. Узлы \(M_1\) и \(M_2\) соединены с \(P\): \(\varphi_{M_1}-\varphi_P=I_4r=4r\cdot1\text{ А}\) (через \(A_4\)), \(\varphi_{M_2}-\varphi_P=I_RR=R\cdot1\text{ А}\) (через резистор). Вычитаем: \(\varphi_{M_2}-\varphi_{M_1}=(R-4r)\cdot1\text{ А}=r\cdot1\text{ А}\), откуда \(R=5r\), \(\dfrac rR=\dfrac15\).

Обратите внимание: ток через \(A_3\) идёт против «ожидаемого» направления сверху вниз — мы не угадывали его, а получили знак из потенциалов.

Ответ. \(I_3=1\text{ А}\), \(I_4=4\text{ А}\), \(I_R=1\text{ А}\), \(\dfrac rR=\dfrac15=0{,}2\).

Проверка. На диаграмме потенциалов (в единицах \(r\cdot1\text{ А}\), \(\varphi_P=0\)): \(\varphi_{M_1}=4\), \(\varphi_{M_2}=5\), \(\varphi_L=7\) и со стороны \(A_2\) (\(4+3\)), и со стороны \(A_1\) (\(5+2\)): путь через любой амперметр даёт тот же \(\varphi_L\), замкнутый контур \(L\to M_1\to M_2\to L\) даёт \(-3+1+2=0\). Второй способ: напряжение между \(L\) и \(P\) по нижнему пути \(A_1+R\) равно \(2r+R\cdot1=7r\), по верхнему \(A_2+A_4\) равно \(3r+4r=7r\), что при \(R=5r\) совпадает. Смысл: резистор в пять раз больше амперметра, поэтому нижний узел выше верхнего по потенциалу и ток \(A_3\) идёт вверх.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.