Плот на реке

Перейдите в систему отсчёта воды: там течения нет, и плот просто тормозится силой сопротивления, пропорциональной скорости. Пройденный до остановки путь равен произведению начальной скорости на время релаксации, а само это время найдите по изгибу кривой на рисунке.

\(Y=v_0\tau\approx15{,}5\text{ м}\) (по рисунку получается 15–16 м); время релаксации \(\tau=m/k\approx50\text{ с}\).

Что происходит. Сила сопротивления зависит от скорости относительно воды, а не берега. В системе отсчёта воды (она движется равномерно, значит, инерциальна) течения нет, и плот просто тормозится: его скорость относительно воды убывает, не меняя направления, пока плот не остановится относительно воды, то есть не поплывёт вместе с ней. Расстояние от берега течение не меняет — оно направлено вдоль берега. Поэтому нужно найти, насколько плот успеет отплыть от берега, пока тормозится.

Обозначения. Ось \(x\) — вдоль берега по течению, ось \(y\) — от берега; \(\vec u\) — скорость течения (\(u=0{,}3\text{ м/с}\)), \(\vec v_0\) — начальная скорость плота относительно берега (\(v_0=0{,}3\text{ м/с}\), вдоль оси \(y\)), \(\vec v'\) — скорость плота относительно воды, \(m\) — масса плота, \(k\) — коэффициент сопротивления, \(\tau=m/k\).

1. Движение относительно воды. Начальная скорость плота относительно воды \(\vec v'_0=\vec v_0-\vec u\): она направлена под \(45^\circ\) к берегу (против течения и от берега). Единственная горизонтальная сила — сопротивление \(\vec F=-k\vec v'\) (сила тяжести уравновешена силой Архимеда). Запишем второй закон Ньютона для плота в системе воды и разделим на \(m\): для малого промежутка \(dt\) \[d\vec v'=-\frac{\vec v'}{\tau}\,dt=-\frac{d\vec r'}{\tau},\] где \(d\vec r'=\vec v'\,dt\) — смещение плота относительно воды. Просуммируем от начала движения до остановки относительно воды (скорость \(\vec v'\) меняется от \(\vec v'_0\) до нуля, \(\vec r'\) — смещение за всё время): \[0-\vec v'_0=-\frac{\vec r'}{\tau}\quad\Rightarrow\quad\vec r'=\tau\,\vec v'_0 .\] Плот остановится относительно воды в точке, смещённой на \(\tau\vec v'_0\). Его \(y\)-составляющая равна \(v_0\tau\), потому что \(v'_{0y}=v_0\). Течение вдоль берега \(y\) не меняет, поэтому \[Y=v_0\tau .\] Это и есть расстояние от берега. Осталось найти \(\tau\).

2. Траектория относительно берега. Величина \(\vec v'\) убывает по экспоненте, \(\vec v'=\vec v'_0e^{-t/\tau}\) (из \(d\vec v'=-\vec v'\,dt/\tau\)), а её направление не меняется. Тогда в системе берега \[v_y=v_0e^{-t/\tau},\qquad y=v_0\tau\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)=Y\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr).\] Относительно воды плот движется по прямой под \(45^\circ\) (\(v'_{0x}=-u\), \(v'_{0y}=v_0\), \(u=v_0\)), так что за время \(t\) смещение вдоль течения в системе воды равно \(-y\), а вода сама сместилась на \(ut\). Значит, в системе берега \(x=ut-y\), то есть \(x+y=ut\). Выразим время через \(y\): \(t=-\tau\ln(1-y/Y)\). Так как \(u\tau=v_0\tau=Y\), получаем уравнение траектории \[x+y=-Y\ln\Bigl(1-\frac{y}{Y}\Bigr).\]

3. Снимаем данные с рисунка. Масштаб: отрезок «1 м» на рисунке — около пяти клеток миллиметровки; берег — нижняя линия. Конец показанного участка: \(y\approx8{,}0\text{ м}\), \(x\approx3{,}3\text{ м}\), так что \(x+y\approx11{,}3\text{ м}\). Подбираем \(Y\) в уравнении траектории: при \(Y=15\) м получается \(11{,}4\) м, при \(Y=16\) м — \(11{,}1\) м, значит, \(Y\approx15{,}3\text{ м}\). Другие точки кривой подтверждают значение около \(15{,}5\text{ м}\) (отсчёт по рисунку ведёт к 15–16 м):

Обратите внимание: в системе берега плот сразу получает ускорение вдоль течения (\(a_x=u/\tau\)), поэтому траектория начинается вертикально и загибается по течению; но предельное расстояние от берега зависит только от \(v_0\tau\).

Проверка. Размерность: \(v_0\tau=\text{м/с}\cdot\text{с}=\text{м}\). Если течения нет (\(u=0\)), плот едет прямо и остановится в \(v_0\tau\) от берега — то же значение: течение расстояние не меняет. Траектория, построенная по найденной \(Y\), ложится на все четыре отсчитанные точки рисунка и приближается к прямой \(y=Y\) только при \(x\to\infty\): плот асимптотически подплывает к ней и уносится течением вдоль берега.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.