Лобовое сопротивление

Подсказка

Движение гайки в вязкой жидкости настолько медленное, что слагаемым \(ma\) в уравнении движения маятника можно пренебречь: сила сопротивления уравновешивает горизонтальную составляющую силы тяжести, и скорость оказывается пропорциональной смещению. Отсюда экспонента, а наклон графика времени от \(\ln x\) даёт \(1/\gamma\).

Ответ

1.1) \(\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=-\gamma x\); 1.2) \(\gamma=\dfrac{mg}{\beta L}\) (\(m\) — масса груза на стержне, \(L\) — длина нити); 4.1) \(\beta=\dfrac{mg}{\gamma L}\); в образце организаторов: \(m_1=6{,}0\) г, \(m_2=10{,}5\) г, \(L=(3{,}35\pm0{,}09)\) м, \(\gamma_1\approx2{,}6\cdot10^{-2}\text{ с}^{-1}\), \(\gamma_2\approx1{,}5\cdot10^{-2}\text{ с}^{-1}\) (отношение \(\gamma_2/\gamma_1\) соответствует отношению масс), \(\beta=(1{,}18\pm0{,}04)\text{ кг/с}\).

Решение

1.1 На основании второго закона Ньютона и с учетом малости угла отклонения \(\alpha = \frac{x}{L}\) запишем уравнение:

\[ma = -mg\alpha - \beta v.\tag{1}\]

Так как ускорение и скорость движения очень малы, то в этом уравнении можно пренебречь слагаемым \(ma\), тогда уравнение движения приобретает вид

\[v = -\frac{mg}{\beta L}x\tag{2}\]

или

\[\frac{\Delta x}{\Delta t} = -\gamma x,\tag{3}\]

где

\[\gamma = \frac{mg}{\beta L}.\tag{4}\]

Часть 2. Параметры установки.

2.1 Измеренные значения масс гайки \(m\) и стержня \(m_0\) равны

\[m = (4{,}5 \pm 0{,}1) \text{ г}\]

\[m_0 = (1{,}5 \pm 0{,}1) \text{ г}.\]

2.2 Период колебаний маятника

\[T = (3{,}67 \pm 0{,}05) \text{ с}.\]

Используя формулу для периода колебаний математического маятника

\[T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}},\tag{5}\]

рассчитаем длину нити

\[L = \frac{T^2 g}{4\pi^2} = 3{,}347 \text{ м}, \quad \Delta L = 2L \frac{\Delta T}{T} = 0{,}09 \text{ м}.\]

Окончательно получаем

\[L = (3{,}35 \pm 0{,}09) \text{ м}.\tag{6}\]

Часть 3. Изучение закона движения.

Результаты измерений времени движения до соответствующего значения координаты для маятника с одной и двумя гайками приведены в Таблице 1. На рис. 2 показаны графики законов движения, построенные по этим данным.

Таблица 1. Результаты измерений времени движения.

Полученные зависимости похожи на экспоненциальные. Для проверки этого утверждения необходимо построить эти графики в полулогарифмическом масштабе. Так как в ходе экспериментов непосредственно измерялось время достижения определенного значения координаты, то предпочтительнее\(^1\) построить графики зависимости времени от логарифма координаты \(t(\ln(x))\). Эти графики приведены на рис. 3 (при расчете учтено смещение нулевого положения маятника \(x_0 = 1{,}5 \text{ см}\)).

Как и следовало ожидать, получены линейные зависимости. В соответствии с приведенным законом движения

\[x(t) = x_0 \exp(-\gamma t),\tag{7}\]

Теоретически зависимости, приведенные на рис. 3 описываются функцией

\[t = -\frac{1}{\gamma} (\ln(x) - \ln(x_0)).\tag{8}\]

Следовательно, коэффициенты наклона графиков численно равны \(\gamma^{-1}\).

\(^1\) В этом случае применение метода наименьших квадратов обосновывается более строго. Не будет большой ошибкой и традиционное построение зависимости логарифма координаты от времени.

Обработка этих зависимостей по МНК (где \(t = a \ln(x) + b\)) приводит к следующим значениям коэффициентов наклона для маятника с одной и двумя гайками, соответственно

\[a_1 = -(67{,}2 \pm 1{,}7) c\]

\[a_2 = -(38{,}7 \pm 0{,}9) c\]

В соответствии с формулой (4) отношение этих коэффициентов должно быть равно обратному отношению масс грузов, подвешенных к маятнику. Вычислим это отношение:

\[\frac{a_1}{a_2} = (1{,}74 \pm 0{,}06).\]

Рассчитаем также отношение масс грузов

\[m_1 = m + m_0 = 6{,}0\,z, \quad \Delta m_1 = \sqrt{(\Delta m)^2 + (\Delta m_0)^2} = 0{,}14\,z;\]

\[m_2 = 2m + m_0 = 10{,}5\,z, \quad \Delta m_2 = \sqrt{(2\Delta m)^2 + (\Delta m_0)^2} = 0{,}22\,z;\]

\[\frac{m_2}{m_1} = 1{,}75 \quad \Delta\left(\frac{m_1}{m_2}\right) = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{\left(\frac{\Delta m_1}{m_1}\right)^2 + \left(\frac{\Delta m_2}{m_2}\right)^2} = 0{,}05.\]

Таким образом, полученные данные соответствуют теоретической модели. Значение параметров \(\gamma\) в двух случаях равны:

\[\gamma_1 = (2{,}58 \pm 0{,}06) \cdot 10^{-2}\,c^{-1}\]

\[\gamma_2 = (1{,}49 \pm 0{,}04) \cdot 10^{-2}\,c^{-1}.\]

Часть 4. Итоги.

4.1 Из выражения (4) следуют формулы для расчета коэффициента лобового сопротивления

\[\beta = \frac{mg}{\gamma L} = a \frac{mg}{L}, \quad \Delta\beta = \beta \sqrt{\left(\frac{\Delta a}{a}\right)^2 + \left(\frac{\Delta m}{m}\right)^2 + \left(\frac{\Delta L}{L}\right)^2}.\tag{9}\]

Расчеты по ним приводят к следующим значениям искомого параметра:

Маятник с одной гайкой:

\[\beta_1 = a_1 \frac{m_1 g}{L} = 67{,}2 \frac{6{,}0 \cdot 10^{-3} \cdot 9{,}81}{3{,}35} \approx 1{,}18 \frac{\text{кг}}{c}, \quad \Delta\beta_1 = 0{,}04 \frac{\text{кг}}{c};\]

Маятник с двумя гайками:

\[\beta_2 = a_2 \frac{m_2 g}{L} = 38{,}7 \frac{10{,}5 \cdot 10^{-3} \cdot 9{,}81}{3{,}35} \approx 1{,}19 \frac{\text{кг}}{c}, \quad \Delta\beta_2 = 0{,}05 \frac{\text{кг}}{c};\]

Окончательный результат можно представить в виде

\[\beta = (1{,}18 \pm 0{,}04) \frac{\text{кг}}{c}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.