Система блоков с тремя грузами

Выразите все силы натяжения нитей через одну из них из условий равновесия грузов и подвижных блоков, а затем потребуйте, чтобы натяжения не были отрицательными.

\(5\text{ кг} \leqslant m_3 \leqslant 10\text{ кг}\).

Обозначим силы натяжения нитей через \(T_0\), \(T_1\), \(T_2\), \(T_{13}\) и \(T_{23}\) (см. рисунок). Запишем условия равновесия груза 3: \[m_3 g = T_{13} + T_{23},\] грузов 1 и 2: \[m_1 g = T_1 + T_{13},\qquad m_2 g = T_2 + T_{23},\] а также подвижных блоков: \[2T_0 = T_1,\qquad T_0 = 2T_2.\] Используя условия равновесия грузов 1 и 2 и блоков, можно выразить все силы натяжения через величину \(T_0\): \[T_{13} = m_1 g - 2T_0,\qquad T_{23} = m_2 g - \dfrac{1}{2}T_0.\]

Пользуясь условием равновесия груза 3, получаем: \[m_3 g = (m_1 + m_2)g - \dfrac{5}{2}T_0,\qquad\text{и}\qquad T_0 = \dfrac{2}{5}(m_1 + m_2 - m_3)g.\] Отсюда \[T_{13} = \dfrac{1}{5}(m_1 - 4m_2 + 4m_3)g\qquad\text{и}\qquad T_{23} = \dfrac{1}{5}(-m_1 + 4m_2 + m_3)g.\] Поскольку силы натяжения нитей не могут быть отрицательными, запишем дополнительные условия: \(T_0 \geqslant 0\), \(T_{13} \geqslant 0\), \(T_{23} \geqslant 0\). Отсюда \[m_1 + m_2 \geqslant m_3,\qquad m_1 + 4m_3 \geqslant 4m_2,\qquad 4m_2 + m_3 \geqslant m_1.\] Подставляя численные значения, находим интервал, в котором должна лежать масса \(m_3\) третьего груза для того, чтобы система находилась в равновесии: \(5\text{ кг} \leqslant m_3 \leqslant 10\text{ кг}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.