Линза у плоского зеркала

Луч, вернувшийся в ту же точку после отражения, должен идти перпендикулярно зеркалу, а лучи через центр линзы не преломляются.

\(ML = F\); \(MA' = b\); \(C'M = \dfrac{aF}{F + 2a}\); \(C'B' = \dfrac{bF}{F + 2a}\).

Луч \(BM\) после отражения от оптической системы должен, по условию, вновь пройти через точку \(M\). Это возможно только в том случае, если после преломления в линзе он идёт перпендикулярно зеркалу. Следовательно, точка \(M\) является фокусом линзы, а расстояние от неё до центра линзы \(L\) равно \(ML = F\). Отсюда также вытекает, что точка \(B'\) лежит на прямой \(BM\) (см. рисунок).

Пучок света, исходящий из точки \(A\), которая лежит в фокальной плоскости, преобразуется линзой в параллельный пучок. После отражения от зеркала этот пучок остаётся параллельным, а после второго преломления в линзе он преобразуется в пучок, вновь сходящийся в фокальной плоскости. Следовательно, точка \(A'\) также лежит в фокальной плоскости. Поскольку луч \(AL\) линзой не преломляется, то \(\angle ALM = \angle A'LM\), и \(MA' = MA = b\).

Из подобия треугольников \(MCB\) и \(MC'B'\) имеем: \(C'B' = C'M\cdot\dfrac{b}{a}\). Учтём, что \(\angle BLM = \angle B'LM\); отсюда \(\dfrac{CB}{CL} = \dfrac{C'B'}{C'L}\), или \(\dfrac{b}{F + a} = \dfrac{C'M}{F - C'M}\cdot\dfrac{b}{a}\). Таким образом, \(C'M = \dfrac{aF}{F + 2a}\), и \(C'B' = \dfrac{bF}{F + 2a}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.