Системы линз и зеркал

Луч через оптический центр не преломляется. Постройте ход после зеркала и найдите, где должна лежать точка пересечения отражённого луча с линзой, чтобы он вышел нужным образом (учтите фокальную плоскость).

1) \(x = \dfrac{1}{2D} = 10\) см;  2) \(x = \dfrac{1}{D} = 20\) см.

Удобно взять луч, идущий через центр первой линзы, и луч, параллельный главной оптической оси. Дальше используйте то, что точка \(F\) — фокус обеих линз.

Постройте изображение в первой линзе, затем считайте его источником для второй. Помните, что у рассеивающей линзы фокус мнимый, а продолжения преломлённых лучей сходятся в нём.

Примените формулу тонкой линзы дважды: изображение от первой линзы служит предметом для второй. Увеличение системы — произведение увеличений линз.

а) \(a_{\min} = 0\);  б) \(a_{\max} = 2f = 40\) см;  в) \(\Gamma(1{,}5f) = 2\);  г) \(x_1 = f = 20\) см.

Применив дважды формулу линзы, получим для расстояния между изображением и второй линзой формулу \[a_2' = \frac{f^2}{x - 2f},\] где \(f\) — фокусное расстояние собирающей линзы. Мнимое изображение соответствует отрицательным значениям величины \(a_2'\), при этом надо учесть, что \(x > 0\), как следует из условия.

Увеличение в системе линз равно произведению увеличений каждой из линз и в нашем случае равно \(\Gamma = \left|\dfrac{f}{x - 2f}\right|\).

Сначала по \(\Gamma_0\) и \(a\) найдите фокусное расстояние рассеивающей линзы. Свет проходит линзу, отражается от зеркала и ещё раз проходит линзу: постройте последовательно три изображения.

1) \(b = 6\) см;  2) \(\Gamma_1 = 0{,}2\).

Равенство углов у точек \(A\), \(C\), \(B\) позволяет найти положения линз по изломам луча: каждая линза преломляет луч в точке излома. Затем примените формулу тонкой линзы к ходу лучей через каждую линзу.

а. Собирающая линза, предмет за двойным фокусом. Изображение действительное, перевёрнутое, между \(F\) и \(2F\). По клеткам рисунка высота образа вдвое меньше: \(k=1/2\).

б. Предмет между \(F\) и \(2F\). Изображение действительное, перевёрнутое, за \(2F\), выше предмета: \(k=3/2\).

в. Рассеивающая линза (фокусы «мнимые», лучи после линзы идут так, будто вышли из ближайшего фокуса). Изображение мнимое, прямое, уменьшенное, с той же стороны, что предмет: \(k=1/4\).

г. Собирающая, предмет далеко, но не так далеко, как в «а»: действительное перевёрнутое с \(k=3/4\).

Знак увеличения в школьной традиции часто опускают и пишут модуль; перевёрнутость видна на чертеже.

Второй взгляд — формула линзы и Ньютон, а не только клетки рисунка. Луч через оптический центр идёт без излома, луч, параллельный оси, после собирающей линзы проходит задний фокус \(F\); где они встретились — там и образ. Для «а» по клеткам \(d=3f\): \(1/(3f)+1/d'=1/f\) даёт \(d'=3f/2\), \(\Gamma=d'/d=1/2\). Ньютон: \(x=d-f=2f\), \(xx'=f^2\), \(x'=f/2\), тот же \(d'=f+x'=3f/2\). Для «б» \(k=3/2\) переворачивает: \(d=5f/3\) — предмет между \(F\) и \(2F\), образ за \(2F\).

Рассеивающая «в»: \(f\lt 0\). Пусть \(|f|=f_0\), предмет в \(d=5f_0/4\). Тогда \(1/d+1/d'=-1/f_0\), \(d'=-f_0/4\), \(k=|d'|/d=1/5\) — порядок как на чертеже (\(k=1/4\): предмет чуть дальше). Всегда \(0\lt k\lt 1\), образ мнимый и прямой: луч, параллельный оси, после рассеивающей идёт так, будто вышел из ближайшего фокуса, и встречается с лучом через центр слева от линзы. При \(d\to\infty\) и собирающая, и рассеивающая сажают образ в свой фокус: \(k\to0\).

Для конца, не лежащего на оси, ведём луч через оптический центр — он идёт без излома — и луч, параллельный оси, который после собирающей линзы проходит через задний фокус (после рассеивающей — как будто вышел из переднего).

Стрелка вдоль оси строится через формулу линзы по двум её концам: ближний и дальний дают две точки-образа, между ними — изображение. Продольное увеличение не равно поперечному, поэтому «стоячая» стрелка меняет длину иначе, чем «поперёк оси».

Стрелка, упирающаяся в фокус одним концом, этим концом уходит на бесконечность: её образ — луч, параллельный оси (или уходящий в бесконечность от второй точки).

Стрелка за линзой (если такая есть на рисунке) — мнимый предмет: лучи на линзу уже сходятся, формула с отрицательным \(d\).

Каждый конец стрелки — обычная точка: один луч через оптический центр (не ломается), второй — параллельно оси, после линзы через \(F\). Где два луча пересеклись (или их продолжения) — туда садится конец образа; отрезок между концами останется отрезком, потому что параксиальное отображение линейно. Для конца на оси «высоты нет»: работает только формула \(1/d+1/d'=1/f\). Ньютон \(xx'=f^2\) удобен, когда конец близко к фокусу: малое \(x\) гонит \(x'\) на метры.

Численный набросок. Собирающая, \(f=10\) см. Стоячая стрелка от \(d_1=15\) см до \(d_2=30\) см: \(d_1'=30\) см, \(d_2'=15\) см — образ тоже 15 см, но «перевёрнут» вдоль оси (ближний конец стал дальним). Поперечная стрелка в \(d=15\) см имеет \(\Gamma=2\); продольное увеличение \(\Gamma_\parallel=\Gamma^2=4\), поэтому та же стрелка, положенная вдоль оси, растянется иначе. Если конец попал в \(F\), \(d\to f+\), \(d'\to\infty\): этот конец «уехал на небо», образ — луч, параллельный оси.

Пусть в одном положении \(d\) и \(d'=L-d\). Тогда

Квадратное уравнение \(d^2-Ld+fL=0\). Два корня \(d_{1,2}\), их разность — как раз \(a=30\) см:

Подставляем \(L=90\) см, \(a=30\) см:

Два положения: \(d=30\) см и \(d=60\) см. Изображения взаимно обратны по увеличению: \(\Gamma\) и \(1/\Gamma\).

Метод Бесселя — прямое следствие симметрии \(d\leftrightarrow d'\) в \(1/d+1/d'=1/f\). Два корня \(d_{1,2}=(L\pm a)/2\): здесь \(60\) и \(30\) см. Ньютон проверяет оба сразу. Первое положение: \(x=30-20=10\) см, \(x'=f^2/x=40\) см, \(d'=60\) см. Второе: \(x=40\) см, \(x'=10\) см, \(d'=30\) см. Увеличения взаимно обратны: \(\Gamma_1=-2\), \(\Gamma_2=-1/2\). Произведение \(|\Gamma_1\Gamma_2|=1\) — так и должно быть: поменяли предмет и экран местами.

Предел \(L\to 4f+\). Дискриминант \(L^2-4fL\to0\), два положения сливаются в одно: линза ровно посередине, \(d=d'=2f\), \(k=-1\). При \(L=80\) см и нашей \(f=20\) см запаса уже нет — чёткое изображение будет только в одной точке. При \(L=90\) см запас 10 см, и \(a=\sqrt{90^2-4\cdot20\cdot90}=30\) см ровно сходится с условием. Если бы линза была слабее, \(f=25\) см, то \(4f=100>90\) — ни одного положения.

Для действительного изображения \(d>f\), \(d'>0\),

Берём производную: удобно \(L=d+f+f^2/(d-f)\) (разделили с остатком). Тогда \(dL/dd=1-f^2/(d-f)^2\). Нуль при \(d-f=f\), то есть

При этом \(d'=2f\), \(L_\min=4f\). Вторая производная положительна — минимум. Это то самое положение, в котором в предыдущей задаче два корня Бесселя сливаются.

Из формулы линзы \(d'=fd/(d-f)\). Сумма \(s=d+d'=d^2/(d-f)\). Минимум по \(d\): производная \(s'(d)=0\) даёт \(d=2f\), и тогда \(d'=2f\), \(s_\min=4f\). Это то же положение, что в методе Бесселя при совпавших положениях линзы. Предмет в двойном фокусе, увеличение \(-1\).

Ньютон делает минимум почти очевидным. Положим \(x=d-f>0\): тогда \(x'=f^2/x\) и расстояние предмет–образ \(L=x+2f+x'=2f+x+f^2/x\). Сумма \(x+f^2/x\) не меньше \(2f\) (неравенство о среднем), равенство при \(x=f\). Итого \(L\ge4f\), минимум при \(d=2f\), \(d'=2f\). Тот же \(d=2f\), где в методе Бесселя два положения сливаются. В книге набрано «\(f=2f\)» — опечатка, речь о расстоянии предмета.

Числа. Линза \(f=10\) см: ближе чем на \(40\) см экран к предмету не пододвинуть, как ни ставь линзу. При \(d=12\) см уже \(d'=60\) см, \(L=72\) см; при \(d=50\) см \(d'=12{,}5\) см, \(L=62{,}5\) см; оба хуже, чем \(40\). При \(d\to f+\) изображение улетает на бесконечность; при \(d\to\infty\) сам предмет уезжает — яма с дном \(4f\) между этими обрывами.

Пусть зеркальце повернуто на малый угол \(\theta\) от положения, в котором отражённый пучок идёт вдоль оси. Угол падения равен углу отражения, поэтому сам пучок отклоняется на \(2\theta\). Значит \(\varphi=2\theta\), \(\dot\varphi=2\omega\).

Экран стоит перпендикулярно оси. Чтобы параллельный пучок фокусировался в точку при любом малом \(\varphi\), экран должен быть в фокальной плоскости линзы. Тогда

В момент пересечения оси \(\theta=0\), \(\mathrm{tg}\,\varphi=\varphi\), и

Где именно на оси стоит зеркальце — неважно: параллельный пучок «не помнит» точки отражения, только направление.

Параллельный пучок «живёт на бесконечности»: \(d=\infty\), формула линзы сразу сажает его в фокальную плоскость, \(d'=f\). Значит, экран обязан стоять в фокальной плоскости — иначе пятно не точка, а кружок. Два луча пучка (верхний и нижний) после линзы пересекаются ровно в одной точке фокальной плоскости; эта точка и есть наше пятно. Зеркальце поворачивает нормаль на \(\theta\), отражённый пучок — на \(2\theta\) (закон отражения), поэтому угловая скорость пучка \(2\omega\), а линейная скорость пятна \(v=f\cdot 2\omega\).

Где на оси стоит зеркальце — неважно: у параллельного пучка нет «точки старта», только направление. Числа: школьная линза \(f=20\) см и \(\omega=10\) рад/с дают \(v=4\) м/с — пятно пробегает тетрадный лист за сотую секунды. При \(\omega=0\) пятно стоит на оси. Если экран сдвинуть из фокальной плоскости на \(\delta\), пятно размажется в диск диаметра \(\sim D\delta/f\) (\(D\) — оправа), и говорить о «скорости точки» уже нельзя.

Концы: \(d_{1,2}=a\pm l/2\). Чтобы все точки давали действительное изображение, нужно \(d_1>f\), то есть \(a-l/2>f\).

Разность:

Отсюда продольное увеличение

При \(l\to0\) остаётся привычное \(k_\parallel=(f/(a-f))^2=\Gamma_\perp^2\): продольное увеличение есть квадрат поперечного.

Концы отрезка: \(d_\pm=a\pm l/2\). Формула линзы \(d'=fd/(d-f)\) на каждом, разность — длина образа. Ньютон короче: \(x_\pm=(a-f)\pm l/2\), \(x'=f^2/x\), \(l'=f^2\bigl(1/x_--1/x_+\bigr)=f^2 l/\bigl((a-f)^2-l^2/4\bigr)\). Делим на \(l\) — и есть \(k\). При \(l\to0\) остаётся \(k=(f/(a-f))^2=\Gamma_\perp^2\): продольное увеличение есть квадрат поперечного. Для действительных образов обоих концов нужно \(a-l/2>f\).

Числа. \(f=10\) см, середина в \(a=20\) см (двойной фокус), отрезок \(l=4\) см. Тогда \(k=100/(100-4)\approx1{,}04\): почти «один к одному», как и должно быть в окрестности \(2f\). Концы: \(d=18\) и \(22\) см, \(d'=22{,}5\) и \(18{,}3\) см, \(|l'|\approx4{,}2\) см. Если тот же отрезок пододвинуть к фокусу, \(a=13\) см, знаменатель \(9-4=5\), \(k=20\): ближний конец уже «надувается» вдоль оси. При \(a-l/2\to f\) знаменатель обнуляется, \(k\to\infty\).

Пусть высота предмета \(H\). Тогда

Для двух съёмок

Метры и миллиметры в отношении не встречаются: \(f\) выйдет в метрах, как и \(d\).

Формула линзы \(1/a+1/b=1/f\), увеличение \(k=b/a\). Из двух съёмок \(h\propto f/(a-f)\):

Высота кадра \(h=H\cdot f/(d-f)\) — это \(\Gamma=d'/d\) после формулы \(1/d+1/d'=1/f\). Отношение двух высот не содержит лишнего \(d_1/d_2\): \(h_1/h_2=(d_2-f)/(d_1-f)\). Отсюда \(30/51=(9-f)/(15-f)\) и \(f=3/7\) м, без множителя \(15/9\). Ньютон говорит то же: \(x=d-f\), \(x'=f^2/x\), \(\Gamma=x'/d=f/(d-f)\).

Проверка числом. \(f\approx0{,}429\) м. С 15 м: \(\Gamma=0{,}429/14{,}57\approx0{,}0294\), предмет высоты \(H=30/0{,}0294\approx1020\) мм. С 9 м: \(\Gamma=0{,}429/8{,}57\approx0{,}0501\), \(h=1020\cdot0{,}0501\approx51\) мм — попали. Объектив \(43\) см — длиннофокусный портретник: с 9–15 м как раз поясной кадр. Предел \(f\ll d\) дал бы просто \(h\propto1/d\), отношение \(51/30\approx1{,}70\) против \(15/9\approx1{,}67\); вся поправка на конечное \(f\) — эти три сотых, и они как раз рождают \(3/7\).

С пяти метров, без начальной скорости (школьная оценка),

Предмет далеко: \(d=10\) м, \(f=0{,}10\) м, \(d\gg f\), увеличение

На плёнке прыгун движется со скоростью \(v'=v\Gamma=0{,}10\) м/с. Допустимое смазывание \(\delta=0{,}5\) мм \(=5\cdot10^{-4}\) м:

Прыгун у воды имеет скорость \(v=\sqrt{2gH}=\sqrt{2\cdot10\cdot5}=10\) м/с. За выдержку \(t\) он смещается на \(vt\), на негативе это \(vt\cdot(f/L)\). Требуем \(vt\,f/L\le0{,}5\) мм:

Точная формула линзы чуть поправляет школьное \(\Gamma\approx f/d\). Здесь \(d=10\) м, \(f=0{,}10\) м, \(d'=df/(d-f)=1/9{,}9\approx0{,}101\) м, \(\Gamma=d'/d\approx0{,}0101\) вместо \(0{,}010\). На плёнке прыгун бежит со скоростью \(v\Gamma\approx0{,}101\) м/с, и \(t=\delta/v\Gamma\) меняется на процент — выдержка по-прежнему \(5\) мс. Ньютон: \(x=d-f\approx9{,}9\) м, \(x'=f^2/x\approx1\) мм, плёнка почти в фокальной плоскости, как и должно быть при \(d\gg f\).

Скорость у воды \(v=\sqrt{2gH}=10\) м/с при \(g=10\). За 5 мс тело пролетает 5 см; на негативе это ровно допуск 0,5 мм. Если взять \(g=9{,}8\), выйдет \(v=9{,}9\) м/с и \(t\approx5{,}1\) мс — ловить нечего. Реальный прыгун отталкивается, скорость больше: выдержку лучше поставить 1/250 с. Луч через центр объектива и луч через край диафрагмы встречаются на плёнке в одной точке только если наводка верна; иначе к смазу движения добавится кружок рассеяния.

Пусть \(d(t)\) — расстояние до объекта, \(\dot d=-v\) (объект наезжает). Увеличение \(k=d'/d=\mathrm{const}\), значит глубина камеры \(b\equiv d'=kd\),

Из \(k=f/(d-f)\) следует \(f=kd/(k+1)\). Дифференцируем:

Знаки: когда объект ближе, \(f\) и \(b\) надо уменьшать (трансфокатор «в широкий угол», плёнку — к объективу), чтобы \(k\) не росло.

Постоянный размер кадра — это \(k=b/d=\mathrm{const}\). Из \(1/d+1/b=1/f\) тогда \(f=kd/(1+k)\), \(b=kd\). Объект наезжает, \(\dot d=-v\), поэтому \(\dot f=-vk/(1+k)\), \(\dot b=-vk\). Ньютон: \(x=d-f=d/(1+k)\) тоже едет пропорционально \(d\), а \(x'=f^2/x=k^2 d/(1+k)\) — глубина за главной плоскостью. Знаки: объект ближе — и \(f\), и \(b\) надо уменьшать, иначе \(k\) само вырастет.

Числа. Пусть \(k=1/10\) (дальний план), \(v=2\) м/с. Тогда \(|\dot f|=0{,}18\) м/с, \(|\dot b|=0{,}20\) м/с — трансфокатор крутится лениво. При макро \(k=1\) уже \(|\dot f|=v/2\), \(|\dot b|=v\): камеру надо двигать так же резво, как сам объект. Предел \(k\to0\) (бесконечно далёкий план): фокус почти не трогаем, \(f\approx\mathrm{const}\), как обычная съёмка пейзажа. Размерность обоих ответов — м/с.

Луч от верхнего края оправы к нижнему краю резкого образа и симметричный ему пересекают плоскость, сдвинутую к линзе на \(l\), в точках, отстоящих от оси на \(r_1\). Подобие большого треугольника (катеты \(D/2+r_2\) на базе \(f\)) и малого (катеты \(r_2-r_1\) на базе \(l\)) даёт

Пластинка сдвинута к линзе. (В книге числитель записан как \(r_1-r_2\): это тот же сдвиг со знаком «от фокуса к линзе».)

Луна на бесконечности: \(1/d+1/d'=1/f\) даёт \(d'=f\). Резкий диск радиуса \(r_2=\alpha f/2\) лежит в фокальной плоскости. Пока пластинка не там, освещённая область — сечение конуса, натянутого на оправу линзы диаметром \(D\) и на этот диск. Условие \(r_2>D/2>r_1\) говорит: пластинка ближе к линзе, чем фокус, и работают перекрёстные крайние лучи — от верхнего края оправы к нижнему краю резкого диска и наоборот. Где они пересекли пластинку, там и радиус \(r_1\).

Подобие: большой треугольник (катеты \(r_2+D/2\) на базе \(f\)) и малый (\(r_2-r_1\) на базе \(l\)) дают \(l=f(r_2-r_1)/(r_2+D/2)\). Числа: телевик \(f=2\) м, \(\alpha\approx0{,}5^\circ\), \(r_2\approx8{,}7\) мм; пусть \(D=15\) мм, \(r_1=5\) мм. Тогда \(l=2\cdot(8{,}7-5)/(8{,}7+7{,}5)\approx0{,}46\) м — сдвиг к линзе почти на полметра. При \(r_1\to r_2\) имеем \(l\to0\); при \(r_1\to0\) пластинка в плоскости перекрестья, \(l=f\,r_2/(r_2+D/2)\lt f\).

В пространстве вергенций резкость симметрична. Наводка \(s\) — среднее обратных:

Полуширина: \(|1/s-1/2|=1/8\) м⁻¹ при \(N=4\). Итак, допуск \(\Delta(1/d)=(1/32)\,N\).

Диафрагма 2: \(\Delta=1/16\). Границы

Диафрагма 8: \(\Delta=1/4\),

Наводка сидит в среднем обратных расстояний: \(1/s=(1/2+1/4)/2=3/8\), \(s=8/3\) м. Это не «середина между 2 и 4», а середина по вергенции: формула линзы линейна именно по \(1/d\). Кружок рассеяния на плёнке \(\varepsilon\approx D\cdot|d'-d'_0|/d'\), диаметр зрачка \(D=f/N\), поэтому допуск по вергенции растёт как число диафрагмы \(N\). Отсюда \(\Delta(1/d)=(1/32)N\): при \(N=4\) полуширина \(1/8\) м⁻¹, как и снято с границ 2 и 4 м.

Диафрагма 2: \(\Delta=1/16\), границы \(16/7\approx2{,}3\) м и \(16/5=3{,}2\) м — узкая щёлка вокруг наводки. Диафрагма 8: \(\Delta=1/4\), границы \(1{,}6\) и \(8\) м. Закрыли дырку вдвое — глубина примерно удвоилась. Гиперфокал: дальняя граница уйдёт на бесконечность, когда \(\Delta=3/8\), то есть при \(N=12\). Тогда всё от \(4/3\) м до бесконечности будет «резким» в том же допуске кружка.

Близорукий. Дальняя точка — 20 см: дальше этого глаз расслабиться не может. Чтобы видеть бесконечность, очки должны из параллельного пучка сделать пучок, сходящийся к точке в 20 см перед глазом:

Дальнозоркий. Ближняя точка — 50 см, а читать хочется с расстояния ясного зрения 25 см. Очки переносят предмет с 25 см в мнимое изображение на 50 см:

Очки — тонкая линза вплотную к глазу, \(1/d+1/d'=D\). Близорукий: дальняя точка 20 см, дальше глаз расслабиться не может. Чтобы видеть бесконечность, параллельный пучок (\(d=\infty\)) должен сойтись в эту точку: \(d'=-0{,}20\) м, \(D_1=-5\) дптр. Рассеивающие. Дальнозоркий: ближняя точка 50 см, а читать хочется с 25 см. Предмет в \(d=-0{,}25\) м, образ в \(d'=-0{,}50\) м: \(D_2=-2+4=+2\) дптр. Собирающие.

Знаки школьные: предмет слева отрицателен, если лучи на линзу уже расходятся «назад» — нет, для очков предмет реальный слева, \(d=+0{,}25\), а образ мнимый слева, \(d'=-0{,}50\). Тогда \(1/0{,}25+1/d'=D\) не то; верно писать оба расстояния по ходу лучей от глаза: предмет и образ слева, оба со знаком минус, как в оптике глаза. Числа привычные: «минус пять» — сильная близорукость, «плюс два» — очки для чтения. Если очки сидят в 12 мм от глаза, диоптрии чуть плывут, в школе этим пренебрегают.

Чтобы после потери сорока диоптрий глаз стал нормальным, у него в воздухе должен быть огромный избыток силы: изображение далёких предметов садилось бы далеко перед сетчаткой. Это и есть сильная близорукость.

Именно поэтому без маски под водой мир размыт у всех, кроме очень близоруких. Маска возвращает воздушную границу перед роговицей — и зрение «включается» обратно.

В воде относительный показатель роговицы падает с \(1{,}4\) до \(1{,}4/1{,}33\approx1{,}05\): пропадает почти 40 дптр из 60. Хрусталик компенсирует лишь 8–10 дптр аккомодации. «Нормально видящий в воде» должен иметь в воздухе чудовищный запас силы — то есть быть сильно близоруким.

Главная линза глаза — роговица, не хрусталик. Воздух–роговица: \(D_\text{рог}\approx(1{,}37-1)/R\). При \(R\approx8\) мм это \(\approx46\) дптр из шестидесяти. В воде снаружи \(n=1{,}33\): \(D_\text{вод}\approx(1{,}37-1{,}33)/0{,}008\approx5\) дптр. Пропало сорок диоптрий. Хрусталик даёт 15–20, аккомодация — ещё 8–10: на сетчатку не хватает. Нормальный глаз в воде безнадёжно дальнозоркий.

Чтобы после потери \(\sim40\) дптр глаз стал нормальным, в воздухе у него должен быть чудовищный избыток силы: далёкие предметы садились бы далеко перед сетчаткой. Это и есть сильная близорукость (минус десять и больше). Маска возвращает воздушную границу перед роговицей — зрение «включается» обратно. Предел \(n_\text{воды}\to n_\text{рог}\): роговица выключается полностью, остаётся один хрусталик.

Обычный глаз не фокусирует ближе расстояния ясного зрения \(D=25\) см: хрусталик на пределе, плюс широкие пучки через край зрачка дают сферическую аберрацию и большой кружок рассеяния.

Дырка в бумаге стоит перед глазом и вырезает тонкий пучок. Кружок рассеяния на сетчатке падает пропорционально диаметру дырки — картинка резкая даже тогда, когда аккомодация уже не справляется. Предмет пододвигаем на \(x=5\)–\(8\) см, его угловой размер растёт в \(D/x=3\)–\(5\) раз. Это и есть «увеличение».

По существу перед нами камера-обскура, только роль экрана играет сетчатка, а хрусталик ещё чуть подсобирает оставшийся пучок.

Дырка — не линза: формулы \(1/d+1/d'=1/f\) здесь нет. Это камера-обскура, роль экрана играет сетчатка. Узкий пучок режет аберрации хрусталика и кружок рассеяния: глаз перестаёт «мазать» на предмете ближе 25 см. Угловое увеличение сравнивают с невооружённым глазом: \(\Gamma=D/x=25/x\). При \(x=5\) см имеем \(\times5\), при \(x=8\) см — \(\times3\). Два луча от концов буквы через дырку расходятся под углом \(h/x\) вместо \(h/25\).

Слишком маленькая дырка — победит дифракция. Оценка: \(\theta\sim\lambda/a\), \(a=0{,}4\) мм, \(\lambda=0{,}55\) мкм, \(\theta\approx1{,}4\cdot10^{-3}\) рад; на дистанции 5 см кружок \(\sim70\) мкм — ещё терпимо для шрифта. Оптимум — доли миллиметра. Тот же приём: прищуриться, чтобы прочитать ценник без очков. Если дырку заменить собирающей линзой с \(f=x\), получится лупа из следующей задачи — и ярче, и без дифракции на краю бумаги.

Без лупы мелкий предмет высоты \(h\) держат в 25 см: угол \(\alpha\approx h/D\). С лупой предмет ставят в фокус, глаз аккомодирован на бесконечность, угол \(\alpha'\approx h/f\). Увеличение

Иногда на лупах пишут увеличение «по ближней точке», \(\Gamma=1+D/f\); тогда \(f\) было бы чуть другим. Школьная и заводская норма для надписи «\(\times10\)» — именно \(D/f\).

Стандарт заводской надписи «\(\times10\)» — предмет в фокальной плоскости лупы. Формула линзы: \(1/f+1/d'=1/f\), откуда \(d'=\infty\): глаз смотрит на бесконечность и отдыхает. Угол \(\alpha'\approx h/f\), без лупы с расстояния ясного зрения \(\alpha\approx h/D\), \(D=25\) см. Значит \(\Gamma=D/f=10\), \(f=2{,}5\) см. Два луча от концов предмета, прошедшие через оптический центр, выходят параллельно оси под углом \(h/f\).

Другой режим — предмет ближе фокуса, чтобы мнимый образ сел на 25 см: \(1/d-1/0{,}25=1/f\), тогда \(\Gamma=1+D/f=11\), \(f\approx2{,}8\) см. Школа и завод берут именно \(D/f\). Лупа 2,5 см — уже почти короткий объектив микроскопа, сильное стекло; часовая «десятка» на ощупь такая. Предел \(f\to D\): \(\Gamma\to1\), лупа не нужна. Предел \(f\to0\): увеличение растёт, но поле зрения и аберрации убивают картинку.

Формула линзы: \(1/a+1/a'=1/f\), \(a'=af/(a-f)<0\) — образ с той же стороны, на расстоянии \(|a'|=af/(f-a)\) от линзы.

Луч-образующая идёт из вершины под углом \(\alpha\) к оси и встречает линзу на высоте \(h=a\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Смотря в линзу, мы относим этот луч к мнимой вершине: он «выходит» из точки на оси на расстоянии \(|a'|\) и проходит ту же высоту \(h\). Поэтому

В книге набрано «\(1-\alpha/f\)»: опечатка, речь об \(a/f\).

Вершина на оси, \(a\lt f\): образ мнимый, \(a'=af/(a-f)\lt 0\), \(|a'|=af/(f-a)\). Образующая — луч из вершины под углом \(\alpha\); он бьёт в линзу на высоте \(h=a\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Второй луч — сам осевой, идёт без излома. Смотря в линзу, мы относим образующую к мнимой вершине: \(\mathrm{tg}\,\alpha'=h/|a'|=(1-a/f)\,\mathrm{tg}\,\alpha\). Ньютон: \(x=a-f\lt 0\), \(x'=f^2/x\), \(|a'|=|f+x'|=af/(f-a)\) — то же. В книге набрано «\(1-\alpha/f\)»: опечатка, речь об \(a/f\).

Числа. Пусть \(a=f/2\), \(\alpha=30^\circ\). Тогда \(\mathrm{tg}\,\alpha'=(1/2)\mathrm{tg}\,30^\circ=1/(2\sqrt{3})\), \(\alpha'\approx16^\circ\): конус сплющился почти вдвое. При \(a\to0\) линза вплотную к острию, \(\alpha'\to\alpha\). При \(a\to f-\) образ уходит на \(-\infty\), \(\alpha'\to0\): образующие кажутся почти параллельными оси, конус — «иголка». Оба предела читаются с формулы сразу.

Пусть радиус шара \(R\), \(n=4/3\). Рыбка у задней стенки, свет идёт к нам через воду и ломается на передней поверхности. Предмет в воде на расстоянии \(2R\) от этой поверхности, \(R_1=-R\) (центр кривизны слева, если свет вправо к наблюдателю — аккуратно с знаками).

Формула сферической границы \(n_2/v-n_1/u=(n_2-n_1)/R\). Свет из воды в воздух, \(u=-2R\), \(n_1=4/3\), \(n_2=1\), \(R=-R\):

Мнимое изображение в \(3R\) «за» передней поверхностью, то есть на \(R\) дальше задней стенки. Поперечное увеличение границы

У центра \(k=1\) (лучи через центр не ломаются), у ближней стенки поверхность почти плоская, \(k\approx1\). Двойка — максимум.

Сферический аквариум — одна преломляющая поверхность вода–воздух, когда рыбка у дальней стенки. Формула границы \(n_2/v-n_1/u=(n_2-n_1)/R\): свет из воды, \(n_1=4/3\), \(n_2=1\), \(u=-2R\), \(R=-R\). Выходит \(v=-3R\), поперечное увеличение \(k=n_1 v/(n_2 u)=2\). У центра лучи через шар идут почти без излома, \(k=1\); у ближней стенки поверхность почти плоская, снова \(k\approx1\). Двойка — максимум.

Числа. Шар \(R=15\) см, рыбка 4 см у задней стенки: образ сидит в 45 см за передней поверхностью и имеет длину 8 см. Золотая рыбка у дальней стенки круглого аквариума и правда кажется крупнее. При \(n=1\) (пустота) было бы \(k=1\). Если смотреть не из воздуха, а из той же воды, преломления нет и увеличение снова единица. Формула \(k=nR/(R+(n-1)d)\) для рыбки на глубине \(d\) от передней стенки при \(d=2R\) снова даёт 2.

а. Предмет слева на расстоянии \(a\), линза, справа в фокальной плоскости — зеркало.

Лучи, прошедшие мимо зеркала (или если зеркало маленькое), дают обычное изображение линзы:

Книжный \(l_2=a-f\) — это расстояние от зеркала до этого образа (образ в \(af/(a-f)\) от линзы, зеркало в \(f\), разность \(af/(a-f)-f=f^2/(a-f)\); в ответах стоит \(a-f\), измерение от другой точки). Второй, «возвратный» образ: после линзы лучи сходятся к точке \(v=af/(a-f)\). Для зеркала в плоскости \(F\) это виртуальный предмет на расстоянии \(v-f=f^2/(a-f)\) за зеркалом; плоское зеркало ставит симметричный образ, и он лежит на расстоянии \(f(a-2f)/(a-f)\) от линзы. Возвращаясь через линзу, получаем изображение на

от линзы (с той стороны, куда пошли отражённые лучи).

б. Тонкая плоско-выпуклая, посеребрена плоская грань. Свет входит через выпуклую, отражается от плоскости и выходит той же выпуклой. Две преломляющие поверхности и одно плоское зеркало: эквивалентная сила \(2/f\) (линза пройдена дважды, плоское зеркало силы не даёт). Фокусное расстояние получившегося зеркала

а. Зеркало стоит в фокальной плоскости. Лучи, зеркала не задевшие, дают обычный образ линзы: \(d'=af/(a-f)\). Ньютон от фокуса (то есть от зеркала): \(x=a-f\), \(x'=f^2/x=f^2/(a-f)\) — это расстояние от зеркала до этого образа. Книжный \(l_2=a-f\) совпадает с \(x\), а не с \(x'\): в ответах, видимо, отсчитано от другой точки. Возвратный ход: после отражения промежуточный образ на \(l_1=f(a-2f)/(a-f)\) от линзы, и уже этот пучок идёт назад через линзу. Два семейства лучей — два изображения.

б. Свет проходит выпуклую поверхность дважды, плоское зеркало силы не даёт: \(D'=2/f\), \(f'=f/2\). Числа: \(f=20\) см, посеребрённая плоско-выпуклая работает как вогнутое зеркало на 10 см. Для пункта «а» при \(a=3f\) имеем \(l_1=f/2\), книжный \(l_2=2f\). Предел \(a\to\infty\): параллельный пучок садится в \(F\), где стоит зеркало, и возвращается в себя — \(l_1\to f\). Это другая система, чем посеребрённая линза: там зеркало вплотную, здесь — в фокальной плоскости.

Параллельный пучок после первой линзы имеет вергенцию \(1/f_1\). Вторая, стоящая тут же, добавляет \(1/f_2\). Итоговая вергенция

Оптическая сила \(D'=D_1+D_2\). Знаки: рассеивающая входит с минусом и ослабляет систему. Так подбирают очки «из двух стёкол» и склеивают дублеты.

Параллельный пучок после первой линзы сходится к её фокусу. Для второй этот пучок — сходящийся, «предмет» мнимый на расстоянии \(f_1\). Формула линзы даёт \(d_2=f_1 f_2/(f_1+f_2)\). Оптические силы складываются: \(D=D_1+D_2\).

Тонкая линза меняет вергенцию пучка на \(1/f\). Две вплотную делают это подряд: \(1/f'=1/f_1+1/f_2\), \(f'=f_1 f_2/(f_1+f_2)\). Тот же ответ из формулы линзы: параллельный пучок после первой сходится к её фокусу; для второй это мнимый предмет на расстоянии \(f_1\), \(1/(-f_1)+1/d_2'=1/f_2\), \(d_2'=f_1 f_2/(f_1+f_2)\). Рассеивающая входит с \(f\lt 0\) и ослабляет систему.

Числа. \(f_1=10\) см, \(f_2=15\) см: \(f'=6\) см, \(D'=16{,}7\) дптр. Две одинаковые \(f\) дают \(f/2\). Если вторая рассеивающая, \(f_2=-20\) см, то \(f'=20\) см: слабее первой. Предел \(f_2=-f_1\): \(D'=0\), система как оконное стекло. Так подбирают очки «из двух стёкол» и склеивают дублеты: силы складываются, аберрации — нет.

Параллельный пучок слева. Первая линза послала бы его в точку на расстоянии \(f\) от себя. Для второй это виртуальный предмет в \(f-l\) справа от неё, \(u=-(f-l)\).

От первой линзы до образа: \(l+v=l+f(f-l)/(2f-l)\). При \(l\ll f\)

Именно это расстояние в задаче названо фокусным расстоянием системы «от первой линзы».

Без зазора было бы \(f/2\). Малый зазор сдвигает и силу, и главную плоскость. Параллельный пучок: первая линза послала бы его в точку на расстоянии \(f\); для второй это виртуальный предмет в \(f-l\) справа, \(u=-(f-l)\). Формула линзы даёт \(v=f(f-l)/(2f-l)\). От первой линзы до образа \(l+v=(f^2+fl-l^2)/(2f-l)\). При \(l\ll f\) раскладываем: \(f/2+3l/4\). Ньютон после первой: \(x=f-l\), но предмет мнимый — знаки аккуратные.

Числа. \(f=20\) см, \(l=2\) см: приближение \(10+1{,}5=11{,}5\) см; точно \(2+20\cdot18/38=11{,}47\) см. Поправка \(3l/4\) положительна: зазор отодвигает фокус от первой линзы. Формула Гульстранда \(1/F=2/f-l/f^2\) даёт само эквивалентное \(F\approx f/2+l/4\); разница \(l/2\) — расстояние от первой линзы до главной плоскости, и \(l/2+l/4=3l/4\). При \(l=0\) оба ответа сходятся в \(f/2\).

Обе линзы \(f=30\) см, зазор 15 см. Предмет на расстоянии \(x\) слева от ближней.

Если \(x=10\) см, первая даёт мнимый образ в 15 см слева от себя (\(1/10+1/v=1/30\), \(v=-15\) см). Для второй это предмет в \(15+15=30\) см — ровно в фокусе, окончательное изображение на бесконечности. Это граница «действительности».

При \(x>10\) см окончательное изображение уже действительное: и когда промежуточное мнимое (\(10<x<30\)), и когда действительное между линзами или за второй (\(x>30\)). Прямой счёт по формуле линзы это подтверждает в обоих интервалах.

Справа от системы — то же по симметрии. Итого: предмет должен быть дальше 10 см от ближайшей линзы.

Обе линзы \(f=30\) см, зазор 15 см. Граница действительности: промежуточный образ первой садится в передний фокус второй, окончательный \(d'\to\infty\). Это \(x=10\) см от ближней: \(1/10+1/v=1/30\), \(v=-15\) см; для второй предмет в \(15+15=30\) см — ровно в фокусе. Ньютон для первой: \(x_\text{об}=10-30=-20\) см, \(x'=-45\) см, \(d'=30-45=-15\) см — да. При \(x>10\) см окончательный образ действительный с обеих сторон системы (симметрия).

Прямой счёт. \(x=12\) см: \(v_1=-20\) см, для второй \(u=35\) см, \(v_2=210\) см\(>0\). \(x=60\) см: \(v_1=60\) см (промежуточный за второй линзой — мнимый предмет для неё), \(v_2=18\) см\(>0\). \(x=8\) см: \(v_2\lt 0\), мнимое. При \(x\to\infty\) система как две линзы с зазором, фокус действительный. Итого: предмет дальше 10 см от ближайшей линзы.

Рассеивающая линза, \(f_\text{л}=-0{,}6\) м. Её правый фокус совпадает с полюсом вогнутого зеркала: полюс в 0,6 м справа от линзы.

Пусть фокус зеркала \(f\). Параллельный пучок слева после линзы кажется вышедшим из левого фокуса; на зеркало он падает, расходясь из точки в 0,6 м слева от полюса. Зеркало строит образ этой точки, и уже этот пучок идёт назад через линзу.

Самый «опасный» случай — предмет на бесконечности: если даже он даёт мнимый окончательный образ, более близкие предметы тем более не соберут лучи в действительную точку слева (линза рассеивающая, она только помогает разводить возвратный пучок). Для предмета на бесконечности промежуточный (для зеркала) предмет — в фокусе линзы, то есть в полюсе? Нет: правый фокус рассеивающей — это точка, к которой идут продолжения преломлённых лучей, если слева падал параллельный пучок... У рассеивающей параллельный пучок после линзы расходится так, будто вышел из левого фокуса. На полюс зеркала (правый фокус) эти лучи падают, имея виртуальный источник в 1,2 м слева от полюса.

Вогнутое зеркало даст действительный промежуточный образ, который линза потом может перевести в действительный окончательный, только если \(f\) достаточно мало (зеркало сильное). Граница — когда возвратные лучи после линзы идут параллельно: окончательный образ на бесконечности. Расчёт даёт границу \(f=0{,}6\) м. При \(f>0{,}6\) м зеркало слабее, возвратный пучок после линзы расходится при любом положении предмета — образ всегда мнимый.

Рассеивающая линза, \(f_\text{л}=-0{,}6\) м; её правый фокус совпал с полюсом вогнутого зеркала. Параллельный пучок слева после линзы расходится так, будто вышел из левого фокуса: для зеркала это реальный предмет в \(1{,}2\) м от полюса. Формула зеркала \(1/1{,}2+1/w=1/f\). Этот промежуточный образ идёт назад через рассеивающую линзу (\(f\lt 0\) только разводит возвратный пучок сильнее). Чтобы окончательный образ всегда был мнимым, зеркало не должно быть слишком крутым.

Граница — когда предмет на бесконечности даёт окончательный образ на бесконечности: \(f=0{,}6\) м. При \(f>0{,}6\) м зеркало слабее, возвратный пучок после линзы расходится при любом положении предмета. Предел \(f\to\infty\): зеркало плоское, стоит в правом фокусе рассеивающей — система заведомо рассеивающая. Предел малого \(f\): зеркало как точка-собиратель в полюсе и легко даёт действительный образ слева. Числа того же масштаба, что и линза, — разумно.

Центр шарика \(C\) на расстоянии \(d\) от линзы, полюс — на \(d-R\).

Образ в центре. \(1/x+1/d=1/f\), \(x=fd/(d-f)\). Нужен действительный образ, \(d>f\).

Образ в полюсе. \(1/x+1/(d-R)=1/f\), \(x=f(d-R)/(d-R-f)\). Действительный образ в полюсе — только если \(d-R>f\), то есть \(d>R+f\).

Сводка:

— при \(d>R+f\) оба варианта: \(x_1=f(d-R)/(d-R-f)\) и \(x_2=fd/(d-f)\);

— при \(f<d<R+f\) только центр: \(x=fd/(d-f)\);

— при \(d<f\) действительного промежуточного образа справа нет, решения нет.

(В книге во второй строке набрано \(d-F\): та же \(f\).)

Самосовмещение: после отражения от шарика и обратного хода через линзу лучи должны вернуться в \(S\). У зеркальной сферы две самосопряжённые точки — центр (лучи по радиусам, идут в себя) и полюс (точка на поверхности). Линза должна посадить \(S\) в одну из них. Образ в центре: \(1/x+1/d=1/f\), \(x=fd/(d-f)\), нужно \(d>f\). Образ в полюсе: \(1/x+1/(d-R)=1/f\), \(x=f(d-R)/(d-R-f)\), нужно \(d>R+f\). Ньютон: \(x_\text{об}=d-f\), \(x'=f^2/x\), требуем \(f+x'=d\) или \(d-R\).

Числа. \(f=10\) см, \(d=40\) см, \(R=5\) см. Тогда \(x_2=40\cdot10/30\approx13{,}3\) см (в центр) и \(x_1=35\cdot10/25=14\) см (в полюс). Оба больше \(f\), оба годятся. При \(R\to0\) шарик — точка в \(C\), остаётся только \(x=fd/(d-f)\). При \(d\lt f\) линза не даёт действительного образа справа, сажать некуда. В книге во второй строке набрано \(d-F\): та же \(f\).

Источник \(S\) в центре, \(SP=R\). Слой тонкий, плоская поверхность почти в полюсе.

Воздух \(\to\) жидкость, плоскость: \(n/v-1/(-R)=0\), \(v=-nR\). Для зеркала предмет на расстоянии \(nR\). Формула зеркала \(1/u+1/w=2/R\):

Обратно, жидкость \(\to\) воздух, плоскость: \(1/v'-n/(-w)=0\), \(v'=w/n=R/(2n-1)\). Это и есть окончательное изображение, считая от полюса. От источника его отделяет

Отсюда \(l(2n-1)=2R(n-1)\), \(2nl-l=2Rn-2R\), \(2n(R-l)=2R-l\),

Источник совпал с образом — он в центре кривизны, \(SP=R\). Лужица у полюса тонкая: плоская граница воздух–жидкость почти в полюсе плюс то же сферическое зеркало. Ход: преломление на плоскости (\(n/v-1/(-R)=0\), \(v=-nR\)), отражение (\(1/(nR)+1/w=2/R\), \(w=nR/(2n-1)\)), преломление обратно (\(v'=w/n=R/(2n-1)\)). От источника до этого образа \(l=R-R/(2n-1)=2R(n-1)/(2n-1)\), откуда \(n=(R-l/2)/(R-l)\).

Два луча: осевой (не ломается) и параксиальный, который преломился на плоскости, ударил в сферу, отразился и вышел. Числа. Вода \(n=4/3\): \(l=2R/5\). Зеркало \(R=20\) см даёт \(l=8\) см, и формула возвращает \(n=(20-4)/(20-8)=4/3\). При \(n=1\) жидкости нет, \(l=0\). При \(n\to\infty\) образ садится в полюс, \(l\to R\). Знаменатель \(R-l>0\) как раз потому, что второе изображение между источником и полюсом.

Жидкость не входит. Зазор — воздух, внутренние поверхности как в воздухе. Сила системы та же, что в воздухе: две линзы вплотную, \(D=2/f\). Но фокусное расстояние в среде \(n\) есть \(n/D\): геометрически фокус дальше в \(n\) раз,

Жидкость вошла. Теперь каждая плоско-выпуклая целиком в жидкости:

Две штуки:

В воздухе каждая плоско-выпуклая \(1/f=(n_0-1)/R\), плоская грань силы не даёт. Жидкость снаружи, внутрь оправы не зашла: внутренние сферы по-прежнему граничат с воздухом, сила системы \(D=2/f\). Но фокусное расстояние в среде \(n\) есть \(n/D\): \(f_1=nf/2\). Если жидкость вошла, каждая линза целиком в среде: \(1/f_\text{л}=(n_0/n-1)/R=(n_0-n)/(n(n_0-1)f)\), две штуки дают \(f_2=n(n_0-1)f/(2(n_0-n))\).

Числа. \(f=10\) см, \(n=4/3\), \(n_0=1{,}5\). Тогда \(f_1\approx6{,}7\) см. С жидкостью внутри: \(f_2=(4/3)\cdot0{,}5/(2\cdot0{,}17)\cdot10\approx20\) см — система втрое слабее. При \(n=1\) оба ответа дают \(f/2\). При \(n\to n_0\) второй уходит на бесконечность: стекло в «своей» жидкости невидимо. Первый остаётся \(n_0 f/2\): воздушный зазор работает как сильная рассеивающая «воздушная линза» в стекле, система не пропадает.

Луна на бесконечности, угловой диаметр \(\alpha\). На плёнке в фокальной плоскости телескопа \(h_1=\alpha F_\text{об}\).

Камера глубины \(l\) сфокусирована на этот промежуточный образ: \(1/d+1/l=1/f\), \(d=lf/(l-f)\). Линейное увеличение камеры

В книге набрано \((l-f)f\) без деления — опечатка; размерность тогда была бы м².

Луна в фокальной плоскости объектива даёт диск \(h_1=\alpha f\). Камера глубины \(l\) снимает этот диск с увеличением \((l-f)/f\), откуда \(h_2/h_1=(l-f)/f\). В книге множитель записан как \((l-f)f\) — пропущен знак деления; размерность тогда не сходится.

Луна на бесконечности: диск в фокальной плоскости объектива телескопа, \(h_1=\alpha F_\text{об}\). Это \(d=\infty\), \(d'=F\) по формуле линзы. Камера глубины \(l\) смотрит на этот диск как на предмет: \(1/d+1/l=1/f\), \(d=lf/(l-f)\), линейное увеличение \(h_2/h_1=l/d=(l-f)/f\). Ньютон для камеры: \(x=d-f=f^2/(l-f)\), \(x'=l-f\), то же отношение. В книге набрано \((l-f)f\) без деления — опечатка: размерность была бы м², а нужно безразмерное отношение.

Числа. Камера \(f=5\) см, глубина \(l=7{,}5\) см: \(h_2/h_1=0{,}5\) — кадр вдвое мельче промежуточного диска. При \(l=2f\) (макро 1:1) размеры совпадают. При \(l\to f+\) камера смотрит «на бесконечность», увеличение мало: промежуточный образ для неё далеко. Два луча от краёв лунного диска через центр объектива камеры встречаются на плёнке; масштаб — отношение плеч \(l\) и \(d\).

Объект на бесконечности: \(h_\infty=\alpha f\), увеличение трубы \(\Gamma_\infty=h_\infty/f_\text{ок}=\alpha f/f_\text{ок}\).

Объект на расстоянии \(a\): \(1/a+1/a'=1/f\), \(a'=af/(a-f)\). Линейный размер образа \(h=\alpha_\text{предм}\cdot a'\) в тех же обозначениях, или проще — отношение к «бесконечному» образу:

Окуляр смотрит на более крупный промежуточный образ, угловое увеличение растёт в \(a/(a-f)\) раз.

Угловое увеличение трубы задаёт отношение размера промежуточного образа к фокусу окуляра. Для бесконечности образ в фокальной плоскости объектива, \(h_\infty=\alpha f\), \(\Gamma_\infty=f/f_\text{ок}\). Для конечного \(a\): \(1/a+1/a'=1/f\), \(a'=af/(a-f)\). Образ дальше фокуса и крупнее: \(h/h_\infty=a'/f=a/(a-f)\). Окуляр смотрит на более крупный диск — увеличение растёт в \(a/(a-f)\) раз. Ньютон: \(x=a-f\), \(x'=f^2/x\), \(a'=f+x'=af/(a-f)\).

Числа. Предмет в \(a=10f\): множитель \(10/9\approx1{,}11\) — почти как на бесконечности. В \(a=5f\): уже \(5/4=1{,}25\). В \(a=2f\): удваивается. При \(a\to\infty\) множитель \(\to1\). При \(a\to f+\) образ уходит на бесконечность за объектив, труба «не умеет» смотреть так близко: окуляр некуда ставить. Два луча от краёв объекта через центр объектива пересекаются в плоскости \(a'\), не в \(F\).

Увеличили расстояние объектив–окуляр на \(l\). Если линзы тонкие, на столько же выросла оптическая длина тубуса \(\Delta\). Приращение увеличения

Теперь все размеры, включая радиусы линз, умножили на \(k\). По формуле тонкой линзы \(f\propto R\), оба фокуса стали \(kf_1\), \(kf_2\). Тубус тоже \(k\Delta\). Новое увеличение

Уменьшится в \(k\) раз. Расстояние ясного зрения \(25\) см — свойство глаза, его мы не масштабируем.

Школьная формула микроскопа \(\Gamma=(\Delta/f_1)(D/f_2)\), где \(\Delta\) — оптическая длина тубуса (между фокусами объектива и окуляра), \(D=25\) см — расстояние ясного зрения. Отодвинули окуляр на \(l\): \(\Delta\) выросла на \(l\), приращение \(\Delta\Gamma=l/f_1\cdot D/f_2=25l/(f_1 f_2)\). Объектив строит промежуточный образ по \(1/d+1/(\Delta+f_1)=1/f_1\); сдвиг тубуса почти линейно тянет \(\Gamma\). Два луча от концов препарата через центр объектива встречаются в плоскости промежуточного образа; окуляр работает как лупа из задачи 13.3.15.

Числа. Объектив \(f_1=4\) мм, окуляр \(f_2=25\) мм, \(\Delta=16\) см: \(\Gamma=40\cdot10=400\). Выдвинули тубус на \(l=2\) см: \(\Delta\Gamma=25\cdot2/(0{,}4\cdot2{,}5)=50\), стало \(\times450\). Если все размеры, включая радиусы линз, умножить на \(k\), то \(f\propto R\) и тубус \(\propto k\), но \(D=25\) см — свойство глаза, его мы не масштабируем. Новое \(\Gamma'=k\Delta/(kf_1)\cdot D/(kf_2)=\Gamma/k\): гигантская копия микроскопа слабее в \(k\) раз.

Чтобы изображение осевого и поперечного размеров осталось прямоугольником, система должна быть телескопической. Какое расстояние между линзами этому соответствует?

Расстояние между линзами \(L = f_1 + f_2 = 30\) см; размеры изображения \(a_2 = a_1\left(\dfrac{f_2}{f_1}\right)^2 = 0{,}25\) мм и \(b_2 = b_1\dfrac{f_2}{f_1} = 1\) мм, или \(a_2 = a_1\left(\dfrac{f_1}{f_2}\right)^2 = 4\) мм и \(b_2 = b_1\dfrac{f_1}{f_2} = 4\) мм.

Источник в фокусе даёт за линзой параллельный пучок. Куда повернётся этот пучок после отражения от наклонного зеркала и где он снова соберётся?

Расстояние между источником и его изображением равно \(F\operatorname{tg}2\alpha\).

Так как источник \(S\) находится в фокусе, то после линзы лучи от него будут представлять параллельный пучок. Каждый такой луч падает на зеркало под углом падения \(\alpha\), угол отражения также равен \(\alpha\), поэтому угол между отражённым от зеркала лучом и оптической осью будет \(2\alpha\). Получаем параллельный пучок под углом \(2\alpha\) к оптической оси, который опять должен собраться в фокальной плоскости линзы. Положение точки сбора лучей определяется лучом, проходящим через центр линзы, который не преломляется.

Таким образом, расстояние между источником и его изображением равно \(F\operatorname{tg}2\alpha\).

Параллельный пучок после линзы \(L_2\) сходится в её фокальной плоскости. Луч, отклонённый на малый угол \(\beta\), попадает в точку на расстоянии \(\beta f_2\) от оси. Чтобы картинка была тёмной, все отклонённые лучи должны попасть на нож.

A) \(h > \varphi(n-1)f_2\);  B) \(h > \dfrac{\alpha n_0 d f_2}{H}\).

Что видно на графике при \(x\to0\)? Предмет у самой правой линзы даёт у неё изображение с увеличением, близким к единице, и это изображение служит предметом для левой линзы на расстоянии \(L\).

\(f=60\) см, \(L=\dfrac{2f}{3}=40\) см.

Покажем относительно короткое решение этой задачи. Пусть предмет находится на расстоянии \(x\to0\) от правой линзы, проще говоря, предмет находится вблизи оптического центра правой линзы. Тогда правая линза формирует мнимое изображение предмета, располагающееся также вблизи оптического центра правой линзы, при этом предмет изображается в линзе с поперечным увеличением \(\Gamma_1=\dfrac{f}{f-x}\), примерно равным 1. Изображение предмета в правой линзе является фиктивным предметом для второй линзы. Этот фиктивный предмет располагается на расстоянии \(L\) от левой линзы и, как следует из графика, изображается с увеличением \(\Gamma_2=3\) в этой линзе. Отсюда следует уравнение \[\left|\frac{f}{f-L}\right| = 3,\] которое имеет два решения \(L=\dfrac{4f}{3}\) и \(L=\dfrac{2f}{3}\).

Рассмотрим первое решение \(L=\dfrac{4f}{3}\). Пусть расстояние до предмета меньше фокусного расстояния линзы: \(x<f\). Тогда правая линза даёт мнимое изображение, располагающееся на расстоянии \(y_1=\dfrac{fx}{f-x}\), увеличение этого изображения равно \[\Gamma_1=\frac{f}{f-x}. \tag{1}\] Расстояние от фиктивного предмета до левой линзы даётся формулой \[x_1=\frac{xf}{f-x}+\frac{4f}{3}=\frac{f(4f-x)}{3(f-x)},\] Подставляя значение \(x_1\) в формулу линзы, находим расстояние до изображения во второй линзе \[y_1=\frac{f(4f-x)}{f+2x}\] и увеличение, с которым изображается фиктивный предмет во второй линзе \[\Gamma_2=\frac{y_1}{x_1}=\frac{3(f-x)}{f+2x}. \tag{2}\] Перемножая увеличения, полученные в (10) и (11), находим формулу, дающую увеличение системы \[\Gamma=\Gamma_1\cdot\Gamma_2=\frac{3f}{f+2x}. \tag{3}\] Из полученной формулы следует, что при изменении \(x\) от 0 до \(f\) увеличение уменьшается, что не соответствует графику, представленному в условии. Таким образом, значение \(L=\dfrac{4f}{3}\) не подходит.

Исследуем значение \(L=\dfrac{2f}{3}\). В этом случае, считая \(x<f\), и рассуждая аналогично предыдущему случаю, имеем вместо формул (11) и (12) соотношения \[\Gamma_2=\left|\frac{3(f-x)}{f-4x}\right|,\qquad \Gamma=\Gamma_1\cdot\Gamma_2=\left|\frac{3f}{f-4x}\right|. \tag{4}\] Легко видеть, что вторая формула из (13) соответствует приведённому в условии графику при \(f=60\) см. Расстояние между линзами, очевидно, равно \(L=\dfrac{2f}{3}=40\) см. Отметим, что ответы можно получить и другим способом, например, решая задачу «в лоб».

Пройдите путь луча: линза, зеркало, снова линза. Отражение в зеркале на расстоянии \(f\) от линзы удобно «развернуть» и заменить прохождением через вторую такую же линзу.

1) Изображение находится на расстоянии \(2f - a\) от линзы (по критериям оценивания организаторов); 2) построение, ответа в виде формулы нет.