Мяч у сетки

Горизонтальную скорость мяча найдите из угла наклона касательной к проекции траектории у сетки, затем вычислите время подлёта к плоскости сетки.

\(z \approx 2{,}54\) м.

Введём систему координат, направив горизонтальную ось \(x\) в сторону сетки перпендикулярно ей, ось \(y\) — вдоль пересечения плоскости сетки с поверхностью Земли, ось \(z\) — вертикально вверх. Начало координат выберем на поверхности Земли в точке удара по мячу. Обозначим через \(g\) ускорение свободного падения.

Найдём горизонтальную проекцию скорости мяча \(v_\text{г}\). Для этого заметим, что проекция скорости мяча на вертикальную ось \(z\) у поверхности Земли равна \(v_\text{г}\cdot\operatorname{tg}\theta\), а на высоте \(h\) она, в соответствии с законом сохранения механической энергии, равна \(v_\text{в} = \sqrt{(v_\text{г}\cdot\operatorname{tg}\theta)^2 - 2gh}\). Угол \(\alpha\) связан с указанными проекциями скорости соотношением: \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{v_\text{в}}{v_\text{г}\cos\varphi}\). Отсюда \[(v_\text{г}\cdot\cos\varphi\cdot\operatorname{tg}\alpha)^2 = (v_\text{г}\cdot\operatorname{tg}\theta)^2 - 2gh,\qquad\text{и}\qquad v_\text{г} = \sqrt{\dfrac{2gh}{(\operatorname{tg}\theta)^2 - (\cos\varphi\cdot\operatorname{tg}\alpha)^2}}.\] Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, заметим, что мяч пересекает плоскость сетки через промежуток времени \(t = \dfrac{a}{v_\text{г}\sin\varphi}\). В этот момент времени координата \(z\) мяча равна \[z = v_\text{г}\operatorname{tg}\theta\cdot t - \dfrac{gt^2}{2} = \dfrac{a\cdot\operatorname{tg}\theta}{\sin\varphi} - \dfrac{ga^2}{2(v_\text{г}\sin\varphi)^2} = \dfrac{a\cdot\operatorname{tg}\theta}{\sin\varphi} - \dfrac{a^2(\operatorname{tg}^2\theta - \operatorname{tg}^2\alpha\cdot\cos^2\varphi)}{4h\sin^2\varphi} \approx 2{,}54\text{ м}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.