Погоня по окружности

Выразите через угол между скоростью второго школьника и радиусом связь расстояния до центра с угловой скоростью первого, а затем найдите, за какое время этот угол меняется на малую величину.

\(t = \dfrac{\pi R}{6u} = 5\) с.

Обозначим через \(\omega = u/R\) угловую скорость движения первого школьника, \(r\) — расстояние от второго школьника до центра, \(\varphi\) — угол между направлением скорости второго школьника и радиусом (см. рисунок).

Поскольку составляющая скорости второго школьника, перпендикулярная радиусу, равна \(\omega r\), а модуль его скорости равен \(v = 2u = 2\omega R\), имеем: \[\sin\varphi = \dfrac{\omega r}{2\omega R} = \dfrac{r}{2R}.\] Следовательно, в процессе погони угол \(\varphi\) изменяется от начального значения, равного нулю, до конечного значения, равного \(\varphi_0 = \arcsin\dfrac12 = \dfrac{\pi}{6}\).

Найдём промежуток времени \(\Delta t\), за который угол \(\varphi\) изменяется на некоторую малую величину \(\Delta\varphi\). Для этого заметим, что за данный промежуток времени второй школьник удаляется от центра окружности на расстояние \[\Delta r = 2R\cdot\Delta(\sin\varphi) = 2R(\sin(\varphi + \Delta\varphi) - \sin\varphi) = 2R\cdot2\cos\left(\varphi + \dfrac{\Delta\varphi}{2}\right)\sin\dfrac{\Delta\varphi}{2}.\] Учтём, что синус малого угла приближённо равен его радианной мере: \[\Delta r \approx 2R\cdot2\cos\varphi\cdot\dfrac{\Delta\varphi}{2} = 2R\cos\varphi\cdot\Delta\varphi.\] Поскольку радиальная составляющая скорости второго школьника равна \(2\omega R\cos\varphi\), он удалится от центра окружности на расстояние \(\Delta r\) за время \[\Delta t = \dfrac{\Delta r}{2\omega R\cos\varphi} = \dfrac{2R\cos\varphi\cdot\Delta\varphi}{2\omega R\cos\varphi} = \dfrac{\Delta\varphi}{\omega},\] пропорциональное изменению угла.

Следовательно, время, которое займёт погоня, составит \[t = \dfrac{\varphi_0}{\omega} = \dfrac{\pi}{6\omega} = \dfrac{\pi R}{6u} = 5\text{ с}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.