Кубик на пружине и вода

Кубик всё время почти в равновесии: рассмотри, как за малое время \(\Delta t\) меняются сила упругости и сила Архимеда, и приравняй сумму их изменений нулю.

\(V_2 = V_1\dfrac{\rho g a^2}{\rho g a^2 + k}\).

При медленном повышении уровня воды в сосуде можно считать, что в любой момент времени кубик находится в равновесии. Учитывая, что на кубик действуют силы тяжести \(m\vec g\), упругости \(\vec F_{\text{упр}}\) и Архимеда \(\vec F_{\text{А}}\), запишем условие равновесия кубика: \[F_{\text{упр}} + F_{\text{А}} = mg.\] За время \(\Delta t\) пружина станет короче на \(V_2\Delta t\), а объём погружённой в воду части кубика увеличится на \((V_1 - V_2)\Delta t\,a^2\). Поэтому сила упругости изменится на \(\Delta F_{\text{упр}} = -kV_2\Delta t\), а сила Архимеда — на \(\Delta F_{\text{А}} = (V_1 - V_2)\Delta t\,a^2\rho g\). Учитывая, что \(\Delta F_{\text{упр}} + \Delta F_{\text{А}} = 0\), получим после преобразований \[V_2 = V_1\dfrac{\rho g a^2}{\rho g a^2 + k}.\] С такой скоростью кубик будет <<всплывать>>, пока он целиком не окажется под водой, то есть при \(t \leqslant \dfrac{a}{V_1 - V_2} = \dfrac{a}{V_1}\left(1 + \dfrac{\rho g a^2}{k}\right)\). При дальнейшем заполнении сосуда водой скорость кубика будет равна нулю.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.