Груз на нити и поднимающаяся платформа

Ускорение груза в горизонтальной плоскости неизвестно: найди его из условия, что скорость груза относительно верхнего конца нерастяжимой нити всё время перпендикулярна нити.

\(T = \dfrac{ma\cdot\operatorname{ctg}\alpha}{\sin\alpha} + \dfrac{mv^2}{l\sin^2\alpha}\),  \(N = mg - ma\cdot\operatorname{ctg}^2\alpha - \dfrac{mv^2\operatorname{ctg}\alpha}{l\sin\alpha}\).

Пусть \(a_1\) — составляющая ускорения груза, направленная к центру окружности. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на вертикальное и горизонтальное направления в вертикальной плоскости, проходящей через нить: \[T\cos\alpha - mg + N = 0,\qquad T\sin\alpha = ma_1.\] Отсюда \[T = \dfrac{ma_1}{\sin\alpha},\qquad N = mg - ma_1\operatorname{ctg}\alpha.\] Для получения ответа остаётся найти величину \(a_1\). Поместим начало прямоугольной системы координат в центр окружности, по которой движется груз (см. рисунок).

Обозначим через \(\vec r_1\) радиус-вектор конца нити, прикреплённого к грузу, \(\vec r_2\) — радиус-вектор конца нити, прикреплённого к платформе, \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) — скорости концов нити, \(\vec a_1\) и \(\vec a_2\) — ускорения концов нити. Введём также обозначения для относительных величин: \(\vec R = \vec r_1 - \vec r_2\) (модуль этой величины равен длине нити), \(\vec V = \vec v_1 - \vec v_2\) (скорость груза относительно верхнего конца нити), \(\vec A = \vec a_1 - \vec a_2\). Заметим, что \[\dfrac{\Delta\vec V}{\Delta t} = \dfrac{\Delta\vec v_1}{\Delta t} - \dfrac{\Delta\vec v_2}{\Delta t} = \vec a_1 - \vec a_2 = \vec A.\] Так как нить нерастяжима и в процессе движения груза всё время натянута, то скорость груза относительно верхнего конца нити всегда направлена перпендикулярно нити. Это означает, что скалярное произведение \(\vec R\cdot\vec V = 0\).

Пусть за малое время \(\Delta t\) векторы \(\vec R\) и \(\vec V\) получили малые приращения \(\Delta\vec R\) и \(\Delta\vec V\). Запишем для момента времени \(t + \Delta t\) полученное выше условие перпендикулярности: \[\left(\vec R + \Delta\vec R\right)\cdot\left(\vec V + \Delta\vec V\right) = 0.\] Раскрывая скобки, пренебрегая малой величиной \(\Delta\vec R\cdot\Delta\vec V\) и деля обе части на \(\Delta t\), с учётом того, что \(\vec R\cdot\vec V = 0\), получим: \[\vec V\cdot\vec V + \vec R\cdot\vec A = 0.\] Сразу после начала движения платформы \(\vec v_1 = \vec v\), \(\vec v_2 = 0\) и \[\vec V\cdot\vec V = v^2,\qquad \vec R\cdot\vec A = \vec R\cdot\vec a_1 - \vec R\cdot\vec a_2 = -la_1\cdot\sin\alpha + la\cdot\cos\alpha.\] Следовательно, \(v^2 - la_1\cdot\sin\alpha + la\cdot\cos\alpha = 0\), и \(a_1 = a\cdot\operatorname{ctg}\alpha + \dfrac{v^2}{l\cdot\sin\alpha}\). Подставляя найденное ускорение \(a_1\) в полученные выше формулы для сил, приходим к ответу: \[T = \dfrac{ma\cdot\operatorname{ctg}\alpha}{\sin\alpha} + \dfrac{mv^2}{l\sin^2\alpha},\qquad N = mg - ma\cdot\operatorname{ctg}^2\alpha - \dfrac{mv^2\operatorname{ctg}\alpha}{l\sin\alpha}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.