Шарик на нити

Для положения шарика, когда сила натяжения нити становится равной нулю, имеем (рис. 131): \[-mg\cos\alpha = \dfrac{mv^2}{l};\qquad (1)\] здесь \(m\) — масса шарика. Запишем закон сохранения энергии для этой же точки: \[\dfrac{mv_0^2}{2} = \dfrac{mv^2}{2} + mgl(1 - \cos\alpha).\qquad (2)\] Из (1) и (2) получаем \[\cos\alpha = -\dfrac{v_0^2 - 2gl}{3gl},\quad v^2 = -gl\cos\alpha.\] Далее до точки подвеса шарик летит по параболе: \[\begin{cases} -v\cos\alpha\cdot t = x,\\ y + v\sin\alpha\cdot t - \dfrac{gt^2}{2} = 0, \end{cases}\] где \(x = l\sin\alpha\), \(y = -l\cos\alpha\).

Тогда \[t = \dfrac{v\sin\alpha + \sqrt{v^2\sin^2\alpha - 2lg\cos\alpha}}{g}\] и \(t = -\dfrac{l}{v}\operatorname{tg}\alpha\).

Приравнивая друг другу эти выражения и учитывая, что \(-gl\cos\alpha = v^2\), получаем \[v\sin\alpha + \sqrt{v^2\sin^2\alpha + 2v^2} = \dfrac{v^2\sin\alpha}{v\cos^2\alpha}.\qquad (3)\] Решая уравнение (3), находим \(\sin^2\alpha = \dfrac{2}{3}\), \(\cos\alpha = -\dfrac{\sqrt3}{3} \approx -0{,}577\), \[v_0 = \sqrt{gl(2 - 3\cos\alpha)} \approx 1{,}93\text{ м/с}.\]