Шарик на нити у вращающегося стержня

Обозначим через \(\alpha\) угол отклонения нити от вертикальной оси вращения системы, а через \(T\) — силу натяжения нити (см. рис. 1.83.1).

В установившемся режиме шарик может либо вращаться по окружности радиусом \(R\), либо висеть на вертикальной нити на оси вращения. Запишем уравнения вращательного движения шарика в проекциях на вертикаль и на радиальное направление: \(T\cos\alpha = mg\) и \(T\sin\alpha = m\omega^2R\). Кроме того, \(\sin\alpha = R/L\). Отсюда получаем: либо \(R = \sqrt{L^2 - (g^2/\omega^4)}\), либо \(R = 0\). Первое решение не существует при \(\omega < \sqrt{g/L}\), так что шарик при малых угловых скоростях вращения будет висеть на вертикальной нити, а \(R\) будет равняться 0 вплоть до достижения угловой скорости \(\omega = \sqrt{g/L}\). При \(\omega > \sqrt{g/L}\) первое решение становится неустойчивым: при малом отклонении шарика от оси на расстояние \(r\) «возвращающая» сила \(T\sin\alpha \approx mgr/L\) будет меньше, чем сила, необходимая для обеспечения центростремительного ускорения \(m\omega^2r\), и \(r\) будет расти до тех пор, пока «возвращающая» сила не достигнет необходимой величины при \(R = \sqrt{L^2 - (g^2/\omega^4)}\), то есть устойчивым станет второе решение. В дальнейшем с ростом \(\omega\) расстояние \(R\) будет быстро увеличиваться, стремясь к \(L\). График зависимости \(R\) от \(\omega\) изображён на рисунке 1.83.2.