Раскачивание маятника толчками

Описанный в условии процесс будет протекать следующим образом. Если энергия маятника \(E\) не превосходит величину \(mgl\), то груз остановится на высоте \(h\), определяемой из соотношения \(E = mgh\), и получит дополнительное приращение энергии \(\Delta E = mu^2/2\). Поскольку начальная энергия маятника равна \(-mgl\), после \(n\) толчков он будет иметь энергию \(E_n = -mgl + (nmu^2/2)\).

Если \(E_n = mgl\), то есть \(n = \dfrac{2mgl}{mu^2/2} = \dfrac{4gl}{u^2}\) — целое число, то маятник будет бесконечно долго двигаться вверх по окружности до остановки в верхней точке, а значит, следующий толчок никогда не произойдёт, и энергия маятника спустя длительное время будет равна \(E_\infty = E_n = mgl\).

Если \(E_n > mgl\), а величина \(\dfrac{4gl}{u^2}\) не является целым числом, то маятник будет двигаться по окружности без остановок — процессы с изменением энергии происходить не будут. Следовательно, через достаточно большой промежуток времени энергия маятника будет совпадать с наименьшим \(E_n\), превосходящим \(mgl\); при этом \(n\) — наименьшее целое число, удовлетворяющее условию \(n > \dfrac{4gl}{u^2}\). Отсюда \(n = \left[\dfrac{4gl}{u^2}\right] + 1\), и \(n - \dfrac{4gl}{u^2} = 1 - \left\{\dfrac{4gl}{u^2}\right\}\), где через \([x]\) и \(\{x\}\) обозначены целая и дробная части \(x\) соответственно. Таким образом, в данном случае спустя длительное время энергия маятника будет равна: \[E_\infty = mgl + \dfrac{mu^2}{2}\left(1 - \left\{\dfrac{4gl}{u^2}\right\}\right).\]