Заряд и разряд конденсатора

Касательные к графику в начале зарядки и в начале разрядки дают скорость изменения напряжения, а она связана с током через резистор.

\(\mathcal{E} \approx 27\) В, \(C \approx 50\) мкФ, \(r \approx 10\) кОм.

Рассмотрим процессы, происходящие в цепи. При замыкании ключа К в положение 1 конденсатор \(C\) заряжается через сопротивление \(R\) от батареи с некоторой ЭДС \(\mathcal{E}\) и внутренним сопротивлением \(r\), что, очевидно, соответствует участку графика от 0 до 7 с. При переключении ключа в положение 2 происходит постепенная разрядка конденсатора через сопротивление \(R\), что видно на участке графика от 7 до 10 с. Запишем уравнения для этих переходных процессов. При зарядке конденсатора \[\mathcal{E} = R\cdot I + r\cdot I + \dfrac{Q}{C}.\] Очевидно, что в начальный момент времени заряд \(Q\) на конденсаторе равен нулю. Потому ток, протекающий через резистор в начальный момент, с одной стороны, равен \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{R + r}\), а с другой стороны, он является скоростью изменения заряда на конденсаторе: \(I = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} = \dfrac{\Delta U}{\Delta t}C\). Если мы определим угловой коэффициент касательной к графику \(U(t)\) в точке \(t = 0\) с, то есть начальную скорость роста напряжения на конденсаторе \(\dfrac{\Delta U}{\Delta t}\), то сможем найти значение выражения \(\dfrac{\mathcal{E}}{(R + r)C}\).

Далее, из графика видно, что к моменту времени \(t = 7\) с напряжение на конденсаторе уже почти не меняется, то есть ток очень мал, и можно утверждать, что напряжение на конденсаторе стало практически равно ЭДС батареи \(\mathcal{E}\), а заряд на конденсаторе стал равен \(\mathcal{E}C\).

После переключения ключа в положение 2 уравнение разрядки конденсатора выглядит так: \[0 = R\cdot I + \dfrac{Q}{C}.\] Ток, протекающий через резистор в первый момент после переключения ключа, с одной стороны, равен \(I = \dfrac{\mathcal{E}}{R}\), а с другой стороны, как уже отмечалось, он является скоростью уменьшения заряда на конденсаторе: \(I = \dfrac{\Delta Q}{\Delta t} = \dfrac{\Delta U}{\Delta t}C\). Если мы определим величину углового коэффициента касательной к графику разрядки \(U(t)\) в точке \(t = 7\) с, то есть сразу после переключения ключа в положение 2, то сможем найти значение выражения \(\dfrac{\mathcal{E}}{RC}\).

Построим обе касательные к графику \(U(t)\) и асимптоту, к которой он стремится на этапе зарядки конденсатора (см. рисунок).

Из этого построения получаем, что ЭДС батареи \(\mathcal{E} \approx 27\) В, а величины угловых коэффициентов равны \(\dfrac{\mathcal{E}}{(R + r)C} \approx 18\) В/с и \(\dfrac{\mathcal{E}}{RC} \approx 27\) В/с. По этим данным далее находим \((R + r)C \approx 1{,}5\) с, \(RC \approx 1\) с, откуда \(C \approx 50\) мкФ и \(r \approx 10\) кОм. Аккумуляторная батарея у школьников получилась очень плохая — видимо, она была собрана из <<севших>> гальванических элементов.

Заметим, что задачу можно решать и несколько по-другому, если знать, что зарядка и разрядка конденсатора через резистор происходят по экспоненциальному закону. При этом величина разности текущего значения \(U(t)\) напряжения на конденсаторе и предельного значения \(U(t \to \infty)\) в конце процесса (то есть \(\mathcal{E}\) при зарядке и 0 при разрядке) уменьшается с течением времени по закону \(e^{-t/\tau}\), где постоянная времени \(\tau\) при зарядке равна \((R + r)\cdot C\), а при разрядке \(R\cdot C\). Если провести упомянутые выше касательные и асимптоты, то расстояния по времени от точек начала касательных до точек их пересечения с асимптотами будут равны соответствующим постоянным времени \(\tau\), что позволяет сразу же найти из построения величины \(\mathcal{E} \approx 27\) В, \(\tau_1 = (R + r)\cdot C \approx 1{,}5\) с и \(\tau_2 = R\cdot C \approx 1\) с, и далее \(C\) и \(r\). Из построения видно также, что спустя время \(\tau\) после начала процесса зарядки или разрядки конденсатора разность текущего и конечного значения напряжения уменьшается по величине в \(e \approx 2{,}7\) раза по сравнению с начальным её значением, то есть от 27 В до 10 В.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.