Кузнечик в коробке

Удобно взять оси вдоль дна коробки и перпендикулярно ему: в такой системе ускорение свободного падения раскладывается на две составляющие, и по оси, перпендикулярной дну, прыжок "— это подъём на высоту \(h\).

\(\alpha = \arccos\dfrac{V_0^2}{2gh} \approx 30^\circ\).

Выберем координатные оси \(X\) и \(Y\), как показано на рисунке.

Тогда в момент \(t_{\text{п}}\) преодоления кузнечиком края коробки проекция его скорости на ось \(Y\) должна быть равна нулю, а координата \(y = h\), и можно записать следующие соотношения: \[V_{0y} + a_y t_{\text{п}} = 0;\qquad V_{0y}t_{\text{п}} + \dfrac{a_y t_{\text{п}}^2}{2} = h,\] где \(a_y = -g\cos\alpha\) и \(V_{0y}\) — проекции векторов ускорения и начальной скорости кузнечика на ось \(Y\). Отсюда \(h = \dfrac{V_{0y}^2}{2g\cos\alpha}\).

При фиксированных значениях угла \(\alpha\) и начальной скорости \(V_0\) максимальная высота подъёма над дном коробки достигается при \(V_{0y} = V_0\), то есть кузнечику следует прыгать перпендикулярно дну коробки. При этом \[\cos\alpha = \dfrac{V_0^2}{2gh} \approx 0{,}87,\qquad \alpha = \arccos\dfrac{V_0^2}{2gh} \approx 30^\circ.\] Вдоль оси \(X\) кузнечик за время \(t_{\text{п}}\) сместится на расстояние \(l = a_x t_{\text{п}}^2/2\), где \(a_x = g\sin\alpha\). Отсюда \(l = \dfrac{V_0^2\sin\alpha}{2g\cos^2\alpha} \approx 30\) см.

Таким образом, размеры дна коробки достаточно велики для того, чтобы кузнечик мог <<стартовать>> на нужном удалении от стенки.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.