Заряды в вершинах многоугольника

Поверните систему зарядов на угол \(2\pi/N\), удвойте заряды и смените их знаки, а затем наложите новую систему на исходную: почти все заряды сократятся.

\(E = \dfrac{q\left(2^N - 1\right)}{4\pi\varepsilon_0R^2\sqrt{5 - 4\cos\dfrac{2\pi}{N}}}\).

Пронумеруем вершины многоугольника как \(A_0\), \(A_1\), …, \(A_{N-1}\); тогда в вершине \(A_k\) находится заряд \(2^kq\). Проведём с исходной системой зарядов 1 следующие преобразования: повернём её на угол \(\dfrac{2\pi}{N}\) так, чтобы заряд из точки \(A_k\) перешёл в точку \(A_{k+1}\); увеличим величины зарядов в два раза и изменим их знаки — получим систему зарядов 2 (см. рисунок):

Напряжённость электрического поля в центре многоугольника, создаваемую системой 1, обозначим как \(\vec E_1\), системой 2 — как \(\vec E_2\). Вектор \(\vec E_2\) получается из \(\vec E_1\) поворотом на угол \(\dfrac{2\pi}{N}\), растяжением в два раза и изменением направления на противоположное.

Наложим теперь системы зарядов 1 и 2 друг на друга, получив систему зарядов <<1+2>>. Все заряды, кроме расположенных в точке \(A_0\), будут компенсированы, поэтому система <<1+2>> состоит из одного заряда величиной \(-q\left(2^N - 1\right)\). Следовательно, система <<1+2>> создаёт в центре многоугольника электрическое поле с величиной напряжённости \(\left|\vec E_{1+2}\right| = \dfrac{q\left(2^N - 1\right)}{4\pi\varepsilon_0R^2}\). С другой стороны, вектор напряжённости \(\vec E_{1+2}\) можно получить, складывая векторы \(\vec E_1\) и \(\vec E_2\) по правилу параллелограмма, как показано на рисунке. Используя теорему косинусов, находим: \[|\vec E_{1+2}|^2 = |\vec E_1|^2 + |\vec E_2|^2 - 2|\vec E_1|\cdot|\vec E_2|\cdot\cos\dfrac{2\pi}{N} = E^2 + 4E^2 - 4E^2\cos\dfrac{2\pi}{N} = E^2\left(5 - 4\cos\dfrac{2\pi}{N}\right).\] Следовательно, \[E\sqrt{5 - 4\cos\dfrac{2\pi}{N}} = \dfrac{q\left(2^N - 1\right)}{4\pi\varepsilon_0R^2},\qquad E = \dfrac{q\left(2^N - 1\right)}{4\pi\varepsilon_0R^2\sqrt{5 - 4\cos\dfrac{2\pi}{N}}}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.