Кипятильник и образец

Нагрев идёт с потерями в комнату, пропорциональными разности температур. Запишите баланс тепла за малое время: скорость нагрева линейно убывает с ростом температуры. Продолжите прямую до комнатной температуры, где потерь нет, и найдите теплоёмкость системы в каждом опыте.

\(C_x\approx1{,}3\cdot10^2\text{ Дж/К}\) (теплоёмкость сосуда с водой и кипятильником около \(780\text{ Дж/К}\), с образцом около \(910\text{ Дж/К}\)).

Что происходит. Кипятильник выдаёт мощность \(P=UI=7\text{ Вт}\). Часть этой мощности идёт в комнату, остальное нагревает воду, сосуд и кипятильник. Чем теплее вода, тем больше потери, поэтому нагрев замедляется: приращения температуры в таблицах убывают. Вблизи комнатной температуры потерь нет, вся мощность идёт на нагрев, и скорость нагрева равна \(P/C\). Главная идея: найти скорость нагрева при \(T=T_0\) экстраполяцией прямой и по ней — теплоёмкость системы в каждом опыте.

Обозначения. \(C\) — полная теплоёмкость воды, сосуда и кипятильника в первом опыте; \(C+C_x\) — во втором (образец лежит в воде при той же температуре); \(T_0=20\,^\circ\text{C}\) — комнатная температура; \(\tau=3\) мин \(=180\) с; \(\Delta T\) — приращение температуры за \(\tau\); \(\overline T\) — средняя температура на этом интервале. Теплоотдача в комнату — \(k(T-T_0)\) с одним и тем же \(k\) в обоих опытах: сосуд тот же, образец мал.

1. Уравнение теплового баланса за малое время. За малое время \(dt\) кипятильник выделяет \(P\,dt\), в комнату уходит \(k(T-T_0)\,dt\), остальное идёт на нагрев системы с теплоёмкостью \(C_{\text{сист}}\): \[C_{\text{сист}}\,dT=P\,dt-k(T-T_0)\,dt .\] Заменим \(dt\) интервалом \(\tau\), а \(dT\) — приращением \(\Delta T\) за него (температура меняется медленно, за 3 минуты — на градус), и отнесём приращение к средней температуре интервала: \[\Delta T=\frac{P\tau}{C_{\text{сист}}}-\frac{k\tau}{C_{\text{сист}}}\,(\overline T-T_0).\] Зависимость \(\Delta T\) от \(\overline T\) — прямая. Проверим по данным.

2. Приращения за 3 минуты. Опыт 1 (первый столбец — средняя температура интервала, в \(^\circ\)C, второй — \(\Delta T\), в К): \(25{,}8\) — \(1{,}2\); \(27{,}0\) — \(1{,}2\); \(28{,}2\) — \(1{,}1\); \(29{,}2\) — \(1{,}0\); \(30{,}2\) — \(0{,}9\); \(31{,}1\) — \(0{,}9\); \(31{,}9\) — \(0{,}8\); \(32{,}7\) — \(0{,}8\). Опыт 2: \(23{,}2\) — \(1{,}2\); \(24{,}4\) — \(1{,}2\); \(25{,}5\) — \(1{,}0\); \(26{,}5\) — \(1{,}0\); \(27{,}5\) — \(1{,}0\); \(28{,}5\) — \(0{,}9\); \(29{,}4\) — \(0{,}9\); \(30{,}2\) — \(0{,}8\). Точки обоих опытов ложатся около убывающих прямых (рис.), и потери действительно пропорциональны \(T-T_0\).

3. Экстраполяция к комнатной температуре. При \(\overline T=T_0\) потерь нет, и \[\Delta T_0=\frac{P\tau}{C_{\text{сист}}}\quad\Rightarrow\quad C_{\text{сист}}=\frac{P\tau}{\Delta T_0}.\] Проведём по точкам каждого опыта прямую (метод наименьших квадратов) и продолжим её до \(T_0=20\,^\circ\text{C}\) (рис.). Получаем \(\Delta T_{0}^{(1)}\approx1{,}62\text{ К}\) и \(\Delta T_{0}^{(2)}\approx1{,}38\text{ К}\).

4. Теплоёмкости. Мощность \(P=UI=35\text{ В}\cdot0{,}2\text{ А}=7\text{ Вт}\), \(P\tau=7\text{ Вт}\cdot180\text{ с}=1260\text{ Дж}\): \[C=\frac{1260\text{ Дж}}{1{,}62\text{ К}}\approx780\text{ Дж/К},\qquad C+C_x=\frac{1260\text{ Дж}}{1{,}38\text{ К}}\approx910\text{ Дж/К}.\] Теплоёмкость образца — разность: \[C_x=P\tau\Bigl(\frac1{\Delta T_0^{(2)}}-\frac1{\Delta T_0^{(1)}}\Bigr)\approx130\text{ Дж/К}.\] Обратите внимание: скорости нагрева в опытах нужно сравнивать при одной и той же температуре, а не в одни и те же моменты времени. В один и тот же момент вода в первом опыте теплее и теряет больше тепла, и сравнение выйдет неверным. Экстраполяция к \(T_0\) устраняет потери вовсе.

Проверка. Размерность: \(\text{Дж/К}\). Второй способ — отношение скоростей при одной температуре. При \(28\,^\circ\text{C}\) прямые дают \(\Delta T^{(1)}=1{,}09\text{ К}\) и \(\Delta T^{(2)}=0{,}94\text{ К}\). Мощность потерь при одной температуре одна и та же, поэтому остаток \(P-k(T-T_0)\) общий, и отношение скоростей равно отношению теплоёмкостей: \((C+C_x)/C=1{,}09/0{,}94\approx1{,}16\), откуда \(C_x\approx0{,}16\cdot780\approx125\text{ Дж/К}\) — в пределах точности тот же результат. Наклон прямой даёт \(k\approx0{,}29\text{ Вт/К}\) и предельную температуру \(T_0+P/k\approx44\,^\circ\text{C}\), физически разумную. Данные округлены до \(0{,}1\) градуса, поэтому \(C_x\) определяется с точностью около \(\pm15\) Дж/К.

Ответ: \(C_x\approx1{,}3\cdot10^{2}\text{ Дж/К}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.