Остывание сосуда с шариком

Поток теплоты в единицу времени \(q = \Delta Q/\Delta t\) через поверхность контакта исследуемой системы (сосуд — вода, сосуд — вода — шарик) с окружающей средой зависит от разности температур: \[\Delta Q/\Delta t = \alpha F(T_\text{с} - T);\] здесь \(t\) — время, \(T_\text{с}\) — температура сосуда, \(T\) — температура окружающей среды, \(F\) — некоторая функция температуры. Коэффициент \(\alpha\) определяется условиями контакта исследуемых систем с окружающей средой. В нашем случае для обоих сосудов условия контакта одинаковы, поэтому коэффициент \(\alpha\) для обоих случаев одинаков. Потеря сосудом некоторого количества теплоты \(\Delta Q\) приведет к снижению температуры сосуда на \(\Delta T_\text{с}\).

Для сосуда с водой получим \[\Delta Q_1 = (M_\text{в}c_\text{в} + m_\text{с}c_\text{с})\Delta T_\text{с},\] где \(M_\text{в}\) и \(c_\text{в}\) — масса и удельная теплоемкость воды, \(m_\text{с}\) и \(c_\text{с}\) — аналогичные величины для сосуда. Для сосуда с водой и шариком находим \[\Delta Q_2 = (M_\text{в}c_\text{в} + m_\text{в}c_\text{в} + m_\text{ш}c_\text{ш})\Delta T_\text{с},\] где \(m_\text{ш}\) и \(c_\text{ш}\) — масса и удельная теплоемкость шарика. По условию задачи \(m_\text{с} \ll M_\text{в}\), \(m_\text{ш} = M_\text{в}\). Кроме того, \(c_\text{с} \ll c_\text{в}\). Поэтому можем написать \[\Delta Q_1 = M_\text{в}c_\text{в}\Delta T_\text{с},\qquad \Delta Q_2 = M_\text{в}(c_\text{в} + c_\text{ш})\Delta T_\text{с}.\] Нетрудно видеть, что изменение температуры на \(\Delta T_\text{с}\) в обоих сосудах проходит за разные времена \(\Delta t_1\) и \(\Delta t_2\), причем \[\dfrac{\Delta T_\text{с}}{F(T_\text{с} - T)} = \dfrac{\alpha}{M_\text{в}c_\text{в}}\Delta t_1,\qquad \dfrac{\Delta T_\text{с}}{F(T_\text{с} - T)} = \dfrac{\alpha}{M_\text{в}(c_\text{в} + c_\text{ш})}\Delta t_2;\] отсюда получим \[\Delta t_1/\Delta t_2 = c_\text{в}/(c_\text{в} + c_\text{ш}).\] Поэтому и для общих времен охлаждения сосудов \(t_1\) и \(t_2\) будет выполнено соотношение \[t_2/t_1 = (c_\text{в} + c_\text{ш})/c_\text{в} = k;\quad\text{отсюда}\quad c_\text{ш}/c_\text{в} = k - 1.\]