Мыльный пузырь в цилиндре

Условие равновесия мыльной пленки пузыря заключается в том, что давление воздуха в нем \(p_{\text{п}1}\) равно сумме внешнего давления \(p_1\) и избыточного давления \(4\sigma/r\), создаваемого поверхностным натяжением. Обратим внимание, что в мыльном пузыре имеются две границы раздела воздух — мыльная пленка, каждая из которых создает давление \(2\sigma/r\). Именно поэтому полное избыточное давление будет равно \(2\cdot2\sigma/r = 4\sigma/r\). Итак, сначала можно записать условие равновесия в виде \[p_{\text{п}1} = p_1 + 4\sigma/r.\] После того как радиус пузыря уменьшился вдвое, поверхностное натяжение будет создавать давление \(8\sigma/r\). По условию задачи температура поддерживается постоянной, а значит, в соответствии с законом Бойля — Мариотта при уменьшении объема пузыря в 8 раз (радиус уменьшился в 2 раза) давление воздуха в нем будет \(8p_{\text{п}1}\), и можно написать \[8p_{\text{п}1} = p_2 + 8\sigma/r.\] Подставляя сюда \(p_{\text{п}1}\) из первого уравнения, окончательно находим \[p_2 = 8p_1 + 24\sigma/r.\]