Колебания тока в нелинейном резисторе

Обозначим коэффициент пропорциональности между рассеиваемой на резисторе мощностью и разностью температур резистора и окружающего воздуха через \(\alpha\). Тогда, поскольку при \(T_3 = 80\,^\circ\)C сопротивление резистора равно \(R_1\), а напряжение на нем \(U_1\), то рассеиваемая мощность равна \(U_1^2/R_1\), и мы можем записать, что \[U_1^2/R_1 = \alpha(T_3 - T_0). \tag{1}\] При повышении приложенного напряжения температура резистора растет, так как увеличивается выделяемая при прохождении тока теплота. Когда температура достигает величины \(T_1 = 100\,^\circ\)C, сопротивление резистора скачком увеличится в два раза. Выделяемая на нем теплота уменьшится, и, если напряжение не очень велико, отвод теплоты окажется более быстрым, чем ее выделение. Это приведет к падению температуры до \(T_2 = 99\,^\circ\)C, но тогда сопротивление скачком уменьшится до прежней величины и процесс начнет повторяться. Таким образом в цепи возникнут колебания тока, связанные со скачкообразной зависимостью сопротивления резистора от температуры.

Температура резистора во время этих колебаний почти постоянна (она изменяется в пределах от \(T_2 = 99\,^\circ\)C до \(T_1 = 100\,^\circ\)C), так что можно считать теплоотвод постоянным, и отводимая мощность составляет \(\alpha(T_1 - T_0)\). Тогда, вводя \(t_1\) — время нагрева (от 99 до \(100\,^\circ\)C), \(t_2\) — время охлаждения и \(t_1 + t_2 = T\) — период колебаний, можно написать уравнения теплового баланса: \[\begin{aligned} U_2^2t_1/R_1 &= \alpha(T_1 - T_0)t_1 + C(T_1 - T_2),\\ U_2^2t_2/R_2 &= \alpha(T_1 - T_0)t_2 - C(T_1 - T_2). \end{aligned} \tag{2}\] Используя найденное из (1) значение \(\alpha\), находим \[\begin{aligned} t_1 &= \dfrac{C(T_1 - T_2)}{U_2^2/R_1 - U_1^2(T_1 - T_0)/[R_1(T_3 - T_0)]},\\ t_2 &= \dfrac{C(T_1 - T_2)}{U_1^2(T_1 - T_0)/[R_1(T_3 - T_0)] - U_2^2/R_2}. \end{aligned}\] Подставляя числовые значения величин, получаем, что \(t_1 = t_2 = 3/32\text{ с} \approx 0{,}1\) с, а \(T \approx 0{,}2\) с.

Максимальное и минимальное значения тока легко находим, так как в процессе колебаний сопротивление скачком изменяется от \(R_1 = 50\) до \(R_2 = 100\) Ом; следовательно, \[I_{\max} = U_2/R_1 = 1{,}6\text{ А},\qquad I_{\min} = U_2/R_2 = 0{,}8\text{ А}.\] Хочется обратить внимание на тот факт, что описываемая в задаче ситуация отвечает фазовому переходу 1-го рода в материале, из которого сделан резистор. При нагревании при температуре \(T_1 = 100\,^\circ\)C происходит переход материала в новую фазу (этот переход, например, может быть связан с перестройкой кристаллической решетки материала резистора). Обратный переход происходит при более низкой температуре \(T_2 = 99\,^\circ\)C — это явление так называемого гистерезиса, свойственного фазовым переходам 1-го рода.