Лампочка и потенциометр

Потенциометр подключён параллельно батарее без внутреннего сопротивления и не влияет на ток лампочки. Лампочка и резистор \(r\) — последовательная цепочка на напряжении батареи; потенциал точки \(A\) сравнивайте с потенциалом движка.

1) \(I\approx0{,}25\text{ А}\) (напряжение на лампочке \(\approx1{,}5\text{ В}\)); 2) на расстоянии \(R_x\approx15\text{ Ом}\) (3/8 длины) от конца, соединённого с лампочкой; 3) \(R_x\approx22\text{ Ом}\) (примерно 0,54 длины) от того же конца.

Что происходит. Батарея без внутреннего сопротивления держит на любой подключённой к ней цепи одно и то же напряжение \(\mathcal E=4\text{ В}\). Потенциометр подключён прямо к батарее, поэтому на ток лампочки он не влияет. Лампочка и резистор \(r\) образуют отдельную цепочку на этом напряжении, и точка \(A\) — делитель этой цепочки. Движок потенциометра — второй делитель на тех же клеммах. Напряжение \(U_{AB}\) равно разности потенциалов двух делителей.

Обозначения. \(U\) и \(I\) — напряжение на лампочке и ток в ней; \(R_x\) — сопротивление части потенциометра от левого (на рисунке) конца, соединённого с лампочкой, до движка; \(R=40\text{ Ом}\); \(r=10\text{ Ом}\); \(R_d=dU/dI\) — дифференциальное сопротивление лампочки в рабочей точке.

Пункт 1. Ток в лампочке.

1. Закон Ома для резистора \(r\) и сумма напряжений на цепочке «лампочка плюс \(r\)», подключённой к батарее: \(U+Ir=\mathcal E\), то есть \[I=\frac{\mathcal E-U}{r}.\] Это прямая на плоскости \((U;I)\): при \(U=0\) она проходит через \(I=\mathcal E/r=0{,}4\text{ А}\), при \(I=0\) — через \(U=4\text{ В}\).

2. Лампочка подчиняется своей характеристике \(I(U)\). Точка пересечения прямой с кривой удовлетворяет обоим условиям (рисунок): \[U\approx1{,}5\text{ В},\qquad I\approx0{,}25\text{ А}.\]

Пункт 2. Нулевое напряжение между \(A\) и \(B\).

3. Примем за ноль потенциал левого конца потенциометра (он соединён с левым выводом лампочки). Потенциал точки \(A\) выше на напряжение на лампочке: \(\varphi_A=U\approx1{,}5\text{ В}\). Через потенциометр идёт ток \(\mathcal E/R\), потенциал движка равен падению напряжения на левой части: \(\varphi_B=\mathcal E\,R_x/R\). Условие \(\varphi_A=\varphi_B\): \[R_x=R\,\frac U{\mathcal E}=40\cdot\frac{1{,}52}{4}\text{ Ом}\approx15\text{ Ом}\quad(\text{то есть }3/8\text{ длины потенциометра}).\]

Пункт 3. Напряжение \(U_{AB}\) не зависит от \(\mathcal E\).

4. Для любой э.д.с. \(U_{AB}=U(\mathcal E)-\mathcal E\,R_x/R\). Нужно, чтобы малое изменение \(\mathcal E\) не меняло \(U_{AB}\), то есть \(dU_{AB}/d\mathcal E=0\): \[\frac{dU}{d\mathcal E}=\frac{R_x}{R}.\]

5. Связь \(U\) и \(\mathcal E\) даёт условие последовательной цепочки: \(\mathcal E=U+r\,I(U)\). Малое изменение \(d\mathcal E\) меняет \(U\) на \(dU\) и \(I\) на \(dI=dU/R_d\) (лампочку на малом участке заменяем касательной, а \(R_d\) находим по наклону характеристики): \[d\mathcal E=dU+r\,dI=dU\Bigl(1+\frac r{R_d}\Bigr)\ \Rightarrow\ \frac{dU}{d\mathcal E}=\frac{R_d}{R_d+r}.\]

6. Наклон характеристики у \(U=1{,}5\text{ В}\) (рисунок): \(dI/dU\approx0{,}085\text{ А/В}\), то есть \(R_d\approx12\text{ Ом}\). Тогда \[\frac{R_x}{R}=\frac{R_d}{R_d+r}=\frac{11{,}7}{21{,}7}\approx0{,}54,\qquad R_x\approx22\text{ Ом}.\] На рисунке показано отклонение \(\Delta U_{AB}\) от значения при \(\mathcal E=4\text{ В}\) для трёх положений движка (доля длины \(x=R_x/R\)): при \(x=0{,}54\) кривая у \(\mathcal E=4\text{ В}\) горизонтальна.

Ответ. 1) \(I\approx0{,}25\text{ А}\); 2) \(R_x=R\,U/\mathcal E\approx15\text{ Ом}\) от конца, соединённого с лампочкой (3/8 длины); 3) \(R_x=R\,\dfrac{R_d}{R_d+r}\approx22\text{ Ом}\) (примерно 0,54 длины) от того же конца.

Обратите внимание. Положения из пунктов 2 и 3 разные. При нулевом напряжении \(U_{AB}\) оно меняется с \(\mathcal E\): по рисунку при \(x=0{,}38\) наклон отличен от нуля. При положении из пункта 3 напряжение между \(A\) и \(B\) неизменно, но не равно нулю: \(U_{AB}\approx1{,}52-0{,}54\cdot4\approx-0{,}6\text{ В}\) (потенциал движка выше).

Проверка. Если бы лампочка была обычным резистором \(R_л\), то \(R_d=R_л=U/I\) и \(R_d/(R_d+r)=R_л/(R_л+r)=U/\mathcal E\): положения из пунктов 2 и 3 совпали бы (мост уравновешен при любой \(\mathcal E\)). У лампочки \(R_d\approx12\text{ Ом}\), а \(U/I\approx6\text{ Ом}\), потому положения и расходятся: нелинейность и разводит их. Размерность: \(R_x\) в омах, \(R_d/(R_d+r)\) безразмерно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.