Вольтметр после размыкания

Ток через идеальную катушку скачком измениться не может, а напряжение на ней и на вольтметре — может. Найдите токи до размыкания и составьте уравнение цепи после него.

До размыкания \(V=100\text{ В}\); в момент размыкания показание скачком становится \(200\text{ В}\), затем \(V(t)=150\text{ В}+50\text{ В}\cdot e^{-t/\tau}\), \(\tau=L/(2R)\), и стремится к \(150\text{ В}\).

Что происходит. Пока ключ замкнут, ток постоянный, и идеальная катушка (сопротивления нет) просто провод: напряжения на ней нет. После размыкания катушка не даёт току измениться мгновенно: её ток в первый момент остаётся прежним, а напряжение на ней появляется скачком и затем спадает. Главная идея: ток катушки непрерывен, а всё остальное находим из законов Ома и Кирхгофа для цепи в произвольный момент.

Обозначения. \(R_1\) — резистор в начале цепи, \(R_2\) — резистор левой ветви (с ключом), \(R_3\) — резистор правой ветви (после катушки); все равны \(R\). \(V\) — напряжение между узлом (за \(R_1\)) и нижним проводом, его и показывает вольтметр; \(I\) — ток через \(R_1\); \(I_L\) — ток катушки. Идеальный вольтметр тока не потребляет.

1. До размыкания. Ток постоянный, напряжение на катушке равно нулю, поэтому правая ветвь — это просто резистор \(R_3\). Левая и правая ветви соединены параллельно между узлом и нижним проводом, их общее сопротивление \(R/2\). Закон Ома для всей цепи: \[I=\frac{U}{R+R/2}=\frac{300}{150}\text{ А}=2\text{ А},\qquad V=I\cdot\frac R2=100\text{ В}.\] Ток делится поровну: в каждой ветви \(1\text{ А}\), значит \(I_L(0)=1\text{ А}\).

2. В момент размыкания. Если бы ток катушки изменился скачком, напряжение на ней \(L\,dI_L/dt\) стало бы бесконечным, чего в цепи с конечным \(U\) быть не может. Поэтому сразу после размыкания \(I_L=1\text{ А}\). Ключ разомкнут, весь ток источника теперь идёт только через катушку, поэтому \(I=I_L=1\text{ А}\). Закон Ома для участка с \(R_1\) даёт напряжение на узле: \[V(0)=U-I\cdot R=300-1\cdot100=200\text{ В}.\] Значит, показание вольтметра скачком вырастает со \(100\text{ В}\) до \(200\text{ В}\). Напряжение на катушке в этот момент \(L\,\dfrac{dI}{dt}=V-IR=100\text{ В}\).

3. После размыкания: произвольный момент \(t\). Остался один контур: источник, \(R_1\), катушка, \(R_3\). Ток \(I(t)\) один во всей цепи (вольтметр тока не берёт). Закон Ома для \(R_1\) даёт \(V=U-IR\). Для правой ветви (катушка плюс \(R_3\)) то же напряжение равно \(V=L\,\dfrac{dI}{dt}+IR\). Приравниваем: \[L\frac{dI}{dt}=U-2RI.\] Это уравнение с \(I\to U/(2R)=1{,}5\text{ А}\) при \(t\to\infty\) и начальным значением \(I(0)=1\text{ А}\). Его решение с постоянной времени \(\tau=\dfrac{L}{2R}\): \[I(t)=\frac{U}{2R}-\Bigl(\frac{U}{2R}-I(0)\Bigr)e^{-t/\tau}=1{,}5-0{,}5\,e^{-t/\tau}\ \text{(А)}.\]

4. Показание вольтметра. Подставляем в \(V=U-IR\): \[V(t)=U-R\Bigl(1{,}5-0{,}5\,e^{-t/\tau}\Bigr)=150+50\,e^{-t/\tau}\ \text{(В)}.\]

Ответ. До размыкания \(V=100\text{ В}\); при \(t=0\) показание скачком равно \(200\text{ В}\); дальше оно спадает по экспоненте с постоянной времени \(\tau=L/(2R)\) к значению \(150\text{ В}\) (график на рисунке). Индуктивность не задана, поэтому время отложено в долях \(\tau\): за \(\tau\) разность с \(150\text{ В}\) уменьшается в \(e\approx2{,}7\) раза, до \(168\text{ В}\).

Обратите внимание. Вольтметр показывает напряжение между узлом и нижним проводом, а не напряжение на катушке. Скачком меняется напряжение (на катушке с \(0\) до \(100\text{ В}\), на вольтметре со \(100\) до \(200\text{ В}\)), ток катушки скачка не имеет.

Проверка. Предел \(t\to\infty\): напряжения на катушке нет, ток \(U/(2R)=1{,}5\text{ А}\) идёт через \(R_1\) и \(R_3\), на \(R_3\) напряжение \(150\text{ В}\) — как в формуле. Второй способ, момент \(t=0\): производная тока \(dI/dt=0{,}5/\tau\), напряжение на катушке \(L\,dI/dt=0{,}5\cdot2R=100\text{ В}\), и \(V=100+IR=200\text{ В}\), как в пункте 2. Смысл: катушка сопротивляется изменению тока, и в первый момент всё «лишнее» напряжение приходится на неё.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.