Протон в камере Вильсона

Радиус траектории заряженной частицы в магнитном поле даёт её импульс, а значит и энергию. Для второго вопроса используйте закон сохранения электрического заряда: нейтроны заряда не имеют, а в газе кроме водорода есть углерод и кислород.

1) \(E=\dfrac{e^2B^2r^2}{2m}\): \(E_A\approx0{,}6\text{ МэВ}\) (\(r_A\approx9\text{ см}\)), \(E_C\approx0{,}08\text{ МэВ}\) (\(r_C\approx3\text{ см}\)), \(E_C\approx0{,}13\,E_A\); кривизна растёт из-за потерь энергии на ионизацию; 2) ядро углерода (\(Z=6\)).

Что происходит. На протон в магнитном поле действует сила Лоренца, перпендикулярная скорости; она не совершает работы и только поворачивает протон, так что трек в каждой точке дуга окружности, радиус которой определяется импульсом. Протон тормозится, ионизируя газ, импульс падает, и радиус уменьшается: трек закручивается. Главная идея: по радиусу кривизны найти импульс и энергию. Для распада ядра работает закон сохранения заряда.

Обозначения. \(e=1{,}6\cdot10^{-19}\text{ Кл}\), \(m=1{,}67\cdot10^{-27}\text{ кг}\), \(B=1{,}3\text{ Тл}\); \(r_A\), \(r_C\) — радиусы кривизны трека в точках \(A\) и \(C\); \(v\) — скорость протона.

Пункт 1. Энергия протона.

1. Радиус и импульс. Скорость протона перпендикулярна \(\vec B\), сила Лоренца \(evB\) направлена к центру окружности и сообщает центростремительное ускорение. Второй закон Ньютона в проекции на радиус для малого участка трека: \[evB=\frac{mv^2}{r}\ \Rightarrow\ p=mv=eBr.\] Применимость: на малом участке трека радиус можно считать постоянным (мы берём радиус касательной окружности, рисунок), а скорость мала по сравнению со скоростью света, как увидим ниже.

2. Энергия. Через импульс: \[E=\frac{mv^2}{2}=\frac{p^2}{2m}=\frac{e^2B^2r^2}{2m}.\]

3. Радиусы по рисунку. Трек начинается в \(A\) почти прямолинейно и далее закручивается. По касательным окружностям (рисунок) получаем, принимая размеры рисунка как напечатанные: \(r_A\approx8{,}8\text{ см}\) (окружность, касающаяся трека в \(A\), её центр \(O_A\) далеко за пределами рисунка) и \(r_C\approx3{,}2\text{ см}\) (центр \(O_C\) внутри рисунка).

4. Числа. \[p_A=eBr_A=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}3\cdot0{,}088\ \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}}\approx1{,}8\cdot10^{-20}\ \frac{\text{кг}\cdot\text{м}}{\text{с}},\qquad E_A=\frac{p_A^2}{2m}\approx1{,}0\cdot10^{-13}\text{ Дж}\approx0{,}6\text{ МэВ}.\] Скорость \(v=p_A/m\approx1{,}1\cdot10^{7}\text{ м/с}\approx0{,}04\,c\), так что нерелятивистской формулой пользоваться можно.

Почему меняется кривизна. Из \(r=mv/(eB)\) радиус пропорционален скорости. Протон теряет энергию на ионизацию и возбуждение молекул пара, скорость падает, радиус уменьшается, кривизна \(1/r\) растёт. Направление закручивания (по часовой стрелке для положительного протона) показывает, что \(\vec B\) направлен к нам.

Энергия в точке \(C\). Энергия пропорциональна \(r^2\): \[\frac{E_C}{E_A}=\Bigl(\frac{r_C}{r_A}\Bigr)^2\approx\Bigl(\frac{3{,}2}{8{,}8}\Bigr)^2\approx0{,}13,\qquad E_C\approx0{,}08\text{ МэВ}.\]

Пункт 2. Ядро, распавшееся в точке \(A\). Нейтрон, вызвавший распад, электрического заряда не имеет; нейтроны, возможно вылетевшие при распаде, тоже не оставляют треков. Закон сохранения электрического заряда для реакции: заряд распавшегося ядра равен суммарному заряду продуктов, оставивших следы: \[Z=2\cdot1+2\cdot2=6.\] В смеси есть водород (\(Z=1\)), углерод (\(Z=6\), спирт) и кислород (\(Z=8\), спирт и вода). Заряд \(6\) у углерода. Закон сохранения числа нуклонов для самого частого изотопа \(^{12}\mathrm{C}\): \(^{12}\mathrm{C}+n\to2p+2\alpha+3n\) (\(12+1=2+8+3\)), три нейтрона вылетают без следа.

Ответ. 1) \(E=\dfrac{e^2B^2r^2}{2m}\); \(E_A\approx0{,}6\text{ МэВ}\), \(E_C\approx0{,}08\text{ МэВ}\), кривизна растёт из-за потери скорости на ионизацию; 2) углерод.

Обратите внимание. В журнале у рисунка нет масштаба, поэтому числа получены в предположении, что напечатанный размер рисунка равен натуральному. Отношение \(E_C/E_A=(r_C/r_A)^2\) от масштаба не зависит.

Проверка. Размерность: \(\text{Кл}^2\cdot\text{Тл}^2\cdot\text{м}^2/\text{кг}=\text{Дж}\) (\(\text{Тл}=\text{кг}/(\text{Кл}\cdot\text{с})\)). Предел: \(r\to0\) даёт \(E\to0\), остановка протона. Заряд по закону сохранения: \(6=1\cdot2+2\cdot2\), нуклоны: \(13=2+8+3\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.