Полость с двумя отверстиями

Отверстия малы, поэтому молекулы вылетают через них поодиночке, без течения газа. Число молекул, пролетающих через отверстие в единицу времени, и их суммарная энергия зависят от давления и температуры по-разному. В установившемся режиме в полости не копятся ни молекулы, ни энергия.

\(T_c=\sqrt2\,T\approx1{,}41\,T\); \(p_c=\dfrac{\sqrt2+1}{2^{5/4}}\,p\approx1{,}015\,p\).

Что происходит. Отверстия настолько малы (размер много меньше длины свободного пробега), что газ не течёт, а молекулы по одной вылетают сквозь отверстие, как из тонкостенного сосуда. Через отверстие площади \(S\) за единицу времени пролетает \(\tfrac14\,n\bar v\,S\) молекул, где \(n\) — концентрация, \(\bar v\) — средняя скорость. Полость теплоизолирована, значит, в установившемся режиме в неё за секунду приходит столько же молекул, сколько уходит, и приносят они столько же энергии, сколько уносят. Это два уравнения для двух неизвестных, \(p_c\) и \(T_c\).

Обозначения. Индекс \(c\) — полость; \(1\) — объём с температурой \(T\), \(2\) — объём с \(2T\); \(S\) — площадь одного отверстия; \(m\) — масса атома гелия; \(k\) — постоянная Больцмана.

1. Поток молекул через отверстие. Среднюю скорость выражаем через температуру: \(\bar v=\sqrt{8kT/(\pi m)}\), а концентрацию — через давление: \(n=p/(kT)\). Тогда \[\Phi=\frac14\,n\bar v\,S=\frac{pS}{\sqrt{2\pi mkT}}\ \propto\ \frac{p}{\sqrt T}.\] Это справедливо для газа в равновесии, у которого скорости молекул распределены по Максвеллу; таковы газы в обоих объёмах и в полости.

2. Энергия, уносимая вылетевшей молекулой. Через отверстие быстрые молекулы пролетают чаще медленных (поток пропорционален скорости), поэтому средняя кинетическая энергия молекул, прошедших отверстие, больше средней энергии \(\tfrac32kT\) молекул газа. Усреднение по максвелловскому распределению с весом, пропорциональным скорости, даёт \(2kT\) на молекулу для гелия (он одноатомный, вращательной и внутренней энергии нет). Энергия, переносимая за секунду через отверстие, равна \[W=\Phi\cdot 2kT\ \propto\ p\sqrt T.\]

3. Баланс числа молекул в полости. Приходят через два отверстия потоки из объёмов \(1\) и \(2\), уходят через те же два отверстия два одинаковых потока (давление и температура в обоих отверстиях изнутри одни, \(p_c\) и \(T_c\), площади одинаковые): \[\frac{p}{\sqrt T}+\frac{p}{\sqrt{2T}}=2\,\frac{p_c}{\sqrt{T_c}}.\]

4. Баланс энергии. Стенки теплоизолированы, поэтому энергия переносится только молекулами: \[p\sqrt T+p\sqrt{2T}=2\,p_c\sqrt{T_c}.\]

5. Температура. Разделим уравнение энергии на уравнение числа молекул; \(p\), \(p_c\) и множитель 2 сокращаются: \[T_c=\frac{\sqrt T+\sqrt{2T}}{\dfrac1{\sqrt T}+\dfrac1{\sqrt{2T}}}=T\,\frac{1+\sqrt2}{1+\dfrac1{\sqrt2}}=\sqrt2\,T.\]

6. Давление. Из баланса числа молекул: \[p_c=\frac{p}{2}\Bigl(1+\frac1{\sqrt2}\Bigr)\sqrt{\frac{T_c}{T}}=\frac p2\Bigl(1+\frac1{\sqrt2}\Bigr)2^{1/4}=\frac{\sqrt2+1}{2^{5/4}}\,p\approx1{,}015\,p.\]

Ответ. \(T_c=\sqrt2\,T\approx1{,}41\,T\) (между \(T\) и \(2T\), но ниже среднего арифметического \(1{,}5\,T\)), \(p_c=\dfrac{\sqrt2+1}{2^{5/4}}\,p\approx1{,}015\,p\).

Обратите внимание. Давление в полости не равно среднему, и температура не равна среднему арифметическому \(1{,}5\,T\): через отверстие идёт поток молекул, а не газ как целое, и давление в полости с разной температурой «выравнивается» не по \(p\), а по потоку \(p/\sqrt T\).

Проверка. Если температуры обоих объёмов одинаковы (\(T_1=T_2=T\)), уравнения дают \(T_c=T\) и \(p_c=p\) — равновесие. Размерность: поток \(p/\sqrt T\) входит в оба уравнения в одинаковой комбинации, единицы сокращаются. Смысл: из горячего объёма молекулы прилетают реже, но несут больше энергии; в полости при этом температура лежит между \(T\) и \(2T\), как и должно быть для смеси двух потоков.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.