Монослой на катоде

Время равно числу мест в слое, делённому на число молекул, которые за секунду попадают на то же место катода. Число ударов о стенку получите из концентрации, скорости молекул и доли молекул, летящих к стенке.

\(t=\dfrac{6kT}{p\,v\,d^2}\approx6\cdot10^{-2}\) с (порядка \(0{,}05\) с).

Что происходит. Молекулы кислорода хаотично летают в колбе, и каждая, долетевшая до катода, остаётся на нём. Слой считается готовым, когда на каждой площадке размером \(d\times d\) осела одна молекула. Время образования слоя — число мест на единице площади, делённое на число молекул, падающих на единицу площади за секунду. Задача на оценку: берём одну скорость \(v\) для всех молекул и модель шести направлений.

Обозначения. \(n\) — концентрация молекул; \(v\) — их скорость; \(m\) — масса молекулы; \(\nu\) — число молекул, падающих на 1 м\(^2\) катода за 1 с; \(N_0\) — число мест в слое на 1 м\(^2\). Данные в СИ: \(p=10^{-7}\cdot1{,}01\cdot10^5\ \text{Па}\approx1{,}0\cdot10^{-2}\) Па; \(d=3\cdot10^{-10}\) м; \(kT=1{,}38\cdot10^{-23}\cdot300\ \text{Дж}\approx4{,}1\cdot10^{-21}\) Дж.

1. Концентрация. Кислород при таком давлении — разреженный идеальный газ, \(p=nkT\): \[n=\frac{p}{kT}=\frac{1{,}0\cdot10^{-2}}{4{,}1\cdot10^{-21}}\ \text{м}^{-3}\approx2{,}4\cdot10^{18}\ \text{м}^{-3}.\]

2. Скорость. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы равна \(\dfrac{mv^2}{2}=\dfrac{3kT}{2}\), масса молекулы \(m=\dfrac{M}{N_A}=\dfrac{32\cdot10^{-3}}{6{,}0\cdot10^{23}}\ \text{кг}\approx5{,}3\cdot10^{-26}\) кг. Отсюда \[v=\sqrt{\frac{3kT}{m}}=\sqrt{\frac{3\cdot4{,}1\cdot10^{-21}}{5{,}3\cdot10^{-26}}}\ \text{м/с}\approx4{,}8\cdot10^{2}\ \text{м/с}.\]

3. Поток на катод. Хаотическое движение разложим по шести направлениям: вдоль \(\pm x\), \(\pm y\), \(\pm z\), по \(1/6\) молекул в каждом (рисунок). За малое время \(\Delta t\) до площадки площадью \(S\) долетают молекулы из слоя толщиной \(v\Delta t\) над ней, то есть из объёма \(Sv\Delta t\); их число \(nSv\Delta t\), и к катоду летит лишь \(1/6\) из них. Число ударов на единицу площади в единицу времени \[\nu=\frac{nSv\Delta t}{6\,S\,\Delta t}=\frac{nv}{6}=\frac{2{,}4\cdot10^{18}\cdot4{,}8\cdot10^{2}}{6}\ \text{м}^{-2}\text{с}^{-1}\approx2{,}0\cdot10^{20}\ \text{м}^{-2}\text{с}^{-1}.\]

4. Число мест. Молекулы-шарики ложатся в слой плотно, в квадратную сетку, и каждая занимает площадку \(d\times d\): \[N_0=\frac{1}{d^2}=\frac{1}{(3\cdot10^{-10})^2}\ \text{м}^{-2}\approx1{,}1\cdot10^{19}\ \text{м}^{-2}.\]

5. Время. Слой заполнится, когда число севших молекул сравняется с числом мест: \(\nu t=N_0\), откуда \[t=\frac{N_0}{\nu}=\frac{6}{n\,v\,d^2}=\frac{6kT}{p\,v\,d^2}\approx\frac{1{,}1\cdot10^{19}}{2{,}0\cdot10^{20}}\ \text{с}\approx6\cdot10^{-2}\ \text{с}.\]

Обратите внимание: это оценка, и она устойчива. Другая укладка шаров (плотнейшая гексагональная, мест на 15 % больше) или точная формула потока \(\nu=\dfrac{n\bar v}{4}\) со средней скоростью \(\bar v=\sqrt{\dfrac{8kT}{\pi m}}\approx4{,}5\cdot10^2\) м/с дают \(0{,}04\)–\(0{,}07\) с — тот же порядок.

Ответ: \(t=\dfrac{6kT}{p\,v\,d^2}\approx6\cdot10^{-2}\) с, около \(0{,}05\) с.

Проверка. Размерность: \(\dfrac{kT}{p\,v\,d^2}\) — \(\dfrac{\text{Дж}}{\text{Па}\cdot(\text{м/с})\cdot\text{м}^2}=\dfrac{\text{Н}\cdot\text{м}}{(\text{Н/м}^2)(\text{м}^3/\text{с})}=\text{с}\). Предельный случай: \(t\propto1/p\); при нормальном атмосферном давлении (\(p\) в \(10^7\) раз больше) получили бы \(t\approx6\cdot10^{-9}\) с, и именно поэтому катод приходится держать в высоком вакууме: слой кислорода образуется почти мгновенно, а при \(10^{-7}\) атм — за десятые доли секунды.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.