Взрыв гремучей смеси

Сначала выясните, что прореагирует полностью, а что останется. Выделившаяся теплота пойдёт на нагрев смеси продуктов и остатка при постоянном объёме; давление найдите из уравнения состояния для конечного числа молей газа.

\(T\approx2{,}6\cdot10^3\) К;  \(p\approx5{,}4\cdot10^5\) Па \(\approx5{,}3\) атм.

Что происходит. В жёстком теплоизолированном баллоне смесь сгорает быстро: объём не меняется, газ работы не совершает, наружу тепло не уходит. Вся теплота реакции остаётся в газе и нагревает продукты (водяной пар) и то, что не прореагировало. Главная идея: найти, что сгорит полностью, затем записать уравнение теплового баланса и применить уравнение состояния.

Обозначения. \(\nu_{\text{H}}=\dfrac{5}{2}=2{,}5\) моль — водород (\(M=2\) г/моль); \(\nu_{\text{O}}=\dfrac{12}{32}=0{,}375\) моль — кислород; \(T_0=293\) К, \(V=0{,}1\) м\(^3\); \(c_{\text{H}}=14{,}3\) кДж/(кг\(\cdot\)К) и \(c_{\text{п}}=2{,}1\) кДж/(кг\(\cdot\)К) — теплоёмкости водорода и пара; \(q_1=2{,}4\cdot10^5\) Дж/моль — теплота образования моля воды.

1. Что прореагирует. По реакции \(2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to2\mathrm{H_2O}\) на 1 моль кислорода нужно 2 моля водорода. Кислорода \(0{,}375\) моль, для него требуется \(0{,}75\) моль водорода, а водорода есть \(2{,}5\) моль. Кислород в недостатке: он сгорает целиком, образуется \(\nu_{\text{в}}=2\nu_{\text{O}}=0{,}75\) моль воды (\(13{,}5\) г), остаётся водорода \(2{,}5-0{,}75=1{,}75\) моль (\(3{,}5\) г).

2. Теплота реакции. Выделяется \[Q=\nu_{\text{в}}\,q_1=0{,}75\cdot2{,}4\cdot10^5\ \text{Дж}=1{,}8\cdot10^5\ \text{Дж}.\]

3. Температура. Объём постоянен, внешних потерь нет, поэтому \(Q\) целиком идёт на нагрев оставшегося водорода (\(m_{\text{H}}=3{,}5\cdot10^{-3}\) кг) и образовавшегося пара (\(m_{\text{п}}=13{,}5\cdot10^{-3}\) кг) от \(T_0\) до \(T\) — уравнение теплового баланса: \[Q=\bigl(m_{\text{H}}c_{\text{H}}+m_{\text{п}}c_{\text{п}}\bigr)(T-T_0).\] Подставляем: \(m_{\text{H}}c_{\text{H}}=3{,}5\cdot10^{-3}\cdot14{,}3\cdot10^{3}=50\) Дж/К, \(m_{\text{п}}c_{\text{п}}=13{,}5\cdot10^{-3}\cdot2{,}1\cdot10^{3}=28\) Дж/К, всего \(78\) Дж/К: \[T-T_0=\frac{1{,}8\cdot10^5}{78}\ \text{К}\approx2{,}3\cdot10^3\ \text{К},\qquad T\approx2{,}6\cdot10^3\ \text{К}.\] Применимость: пар при такой температуре далеко от насыщения (в баллоне \(T\gg373\) К), поэтому это газ; \(q_1\) и теплоёмкости по условию считаем не зависящими от температуры.

4. Давление. После реакции в баллоне газ в количестве \(\nu=1{,}75+0{,}75=2{,}5\) моль (молей стало меньше, чем \(2{,}875\) до реакции). Уравнение состояния идеального газа для смеси: \[p=\frac{\nu RT}{V}=\frac{2{,}5\cdot8{,}31\cdot2{,}6\cdot10^3}{0{,}1}\ \text{Па}\approx5{,}4\cdot10^5\ \text{Па}\approx5{,}3\ \text{атм}.\]

Обратите внимание: прореагирует не весь водород, а лишь тот, которому хватило кислорода. Если считать, что воды образовалось \(2{,}5\) моль, получим \(Q=6\cdot10^5\) Дж и нагрев получился бы почти втрое больший (\(\approx6{,}4\cdot10^3\) К) — неверно. Диссоциацию воды при \(2600\) К, из-за которой реальная температура ниже, по условию не учитываем.

Ответ: \(T\approx2{,}6\cdot10^3\) К, \(p\approx5{,}4\cdot10^5\) Па (\(\approx5{,}3\) атм).

Проверка. Размерность: \(Q/(mc)\) — Дж / (кг\(\cdot\)Дж/(кг\(\cdot\)К)) = К. Второй способ для давления: начальное \(p_0=\dfrac{2{,}875\,RT_0}{V}\approx7{,}0\cdot10^4\) Па, и \(\dfrac{p}{p_0}=\dfrac{\nu}{\nu_0}\dfrac{T}{T_0}=\dfrac{2{,}5}{2{,}875}\cdot\dfrac{2589}{293}\approx7{,}7\), то есть \(p\approx5{,}4\cdot10^5\) Па — совпало. Предельный случай: если бы лишний водород отсутствовал (в баллоне только \(28\) Дж/К пара), нагрев был бы \(1{,}8\cdot10^5/28\approx6{,}4\cdot10^3\) К; избыточный водород снижает температуру, потому что запасает тепло.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.