Ракетный двигатель

Сила тяги — реакция струи: импульс, который за секунду получает вылетающий газ. Полезная работа двигателя — кинетическая энергия струи, затраченная теплота — теплота сгорания водорода. Расход газа включает и кислород: вода образуется в определённом массовом отношении.

\(F=\mu u\approx9\cdot10^5\) Н;  \(\eta=\dfrac{9u^2}{2q}\approx0{,}72\) (72 %).

Что происходит. В камере сгорает водород в кислороде, образуется водяной пар. Часть теплоты сгорания переходит в кинетическую энергию струи, вылетающей из сопла со скоростью \(u\) относительно ракеты. Струя уносит импульс, и по третьему закону Ньютона ракета получает такую же по модулю силу в обратную сторону — это тяга. Главная идея: всё считать за малый промежуток \(dt\), расход газа берётся полный — водород плюс кислород.

Обозначения. \(\mu_{\text{в}}=24\) кг/с — расход водорода; \(\mu\) — полный расход газа (водород плюс кислород); \(u=4{,}2\cdot10^3\) м/с — скорость струи относительно ракеты; \(q=1{,}1\cdot10^8\) Дж/кг — теплота сгорания 1 кг водорода. Двигатель работает установившись: расходы и \(u\) не меняются. Сгорание принимаем полным, вся масса топлива вылетает из сопла.

1. Расход кислорода. В реакции \(2\mathrm{H_2}+\mathrm{O_2}\to2\mathrm{H_2O}\) на каждые 4 г водорода приходится 32 г кислорода, то есть на 1 кг водорода — 8 кг кислорода. Водород сгорает полностью, поэтому полный расход газа за секунду \[\mu=\mu_{\text{в}}+8\mu_{\text{в}}=9\mu_{\text{в}}=216\ \text{кг/с}.\]

2. Сила тяги. Рассмотрим малый промежуток \(dt\) в системе отсчёта, связанной с ракетой. За это время из камеры выходит газ массой \(\mu\,dt\); в камере он покоился относительно ракеты, а на выходе имеет скорость \(u\), так что его импульс стал \(\mu\,dt\,u\). Второй закон Ньютона для этой порции газа: сила со стороны ракеты, действующая на газ, равна \(\mu u\). По третьему закону Ньютона газ действует на ракету такой же силой, направленной противоположно струе: \[F=\mu u=216\cdot4{,}2\cdot10^3\ \text{Н}\approx9{,}1\cdot10^5\ \text{Н}.\] Давление газа на срезе сопла отдельно не учитываем: \(u\) в условии — скорость, с которой газ вылетает.

3. К. п. д. К. п. д. тепловой машины — отношение полезной мощности к мощности, взятой от нагревателя. Полезная мощность — кинетическая энергия струи за секунду: \(P_{\text{стр}}=\dfrac{\mu u^2}{2}\) (газ из покоя до скорости \(u\)). Теплота выделяется только при сгорании водорода: \(P_q=\mu_{\text{в}}q\). Поэтому \[\eta=\frac{\mu u^2/2}{\mu_{\text{в}}q}=\frac{9u^2}{2q}=\frac{9\cdot(4{,}2\cdot10^3)^2}{2\cdot1{,}1\cdot10^8}\approx0{,}72 .\] В числах: \(P_q=24\cdot1{,}1\cdot10^8\approx2{,}6\cdot10^9\) Вт, \(P_{\text{стр}}\approx1{,}9\cdot10^9\) Вт.

Обратите внимание: в расходе газа нужно учесть кислород. Если взять только водород, получатся \(F\approx10^5\) Н и \(\eta\approx8\,\%\): тяга занижена в 9 раз, а к. п. д. неправдоподобно мал. Масса, которую ракета выбрасывает, — \(9\mu_{\text{в}}\).

Ответ: \(F=9\mu_{\text{в}}u\approx9\cdot10^5\) Н; \(\eta=\dfrac{9u^2}{2q}\approx0{,}72\), то есть около 72 %.

Проверка. Размерность: \(\mu u\) — (кг/с)(м/с) = Н; в \(\eta\) числитель \((\text{кг/с})(\text{м/с})^2\) — Вт, знаменатель (кг/с)(Дж/кг) — Вт. Предельный случай: \(\eta\le1\), значит \(u\le\sqrt{2q/9}\approx4{,}9\) км/с; заданные \(4{,}2\) км/с лежат ниже этого предела. Второй способ: на 1 кг смеси выделяется \(q/9\approx1{,}2\cdot10^7\) Дж, а кинетическая энергия 1 кг газа в струе \(u^2/2\approx8{,}8\cdot10^6\) Дж, отношение \(0{,}72\). Физический смысл: тепловая машина без холодильника отдаёт остальные 28 % энергии газа, которая остаётся во внутренней энергии вылетающего пара.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.