Два манометра подряд

Между манометрами остаётся порция воздуха. При смещении ртути она сжимается или расширяется, и давление в ней — уже не атмосферное и не измеряемое. Свяжите перепады давления на каждом манометре со смещением ртути, а смещения — с изотермой воздуха между ними.

Давление газа может превышать атмосферное не более чем на \(\sqrt2\) атм; абсолютное давление \(p_{\max}=(1+\sqrt2)\,p_0\approx2{,}4\) атм (у одного манометра — 2 атм).

Что происходит. Манометр — U-образная трубка со ртутью: одно колено присоединено к сосуду с газом, другое открыто. Давления различаются на \(\rho g\,\Delta h\) (\(\Delta h\) — разность уровней). Измерять можно, пока ртуть не дошла до верха колена. Два манометра соединены так: колено первого, не связанное с газом, трубкой присоединено к колену второго, а второе колено второго открыто в атмосферу. Между ртутью в этих двух коленах заперт воздух; давление в нём \(p_1\) находится между \(p\) и \(p_0\). Главная идея: перепад давления на манометре = \(2\rho g x\), где \(x\) — смещение ртути в одном колене, и этот воздух следует изотерме.

Модель и обозначения. Условие неполное, поэтому оговорим модель. Манометр симметричный, колена длины \(L\) и сечения \(S\), при давлении \(p=p_0\) уровни стоят посередине (на высоте \(L/2\)). «Измеряет давления до 1 атм» понимаем так: при перепаде в 1 атм ртуть доходит до верха колена, то есть \(\rho gL=1\ \text{атм}\); атмосферное давление \(p_0=1\) атм. Объём короткой трубки пренебрежимо мал; температура постоянна. Все давления в атмосферах: \(\pi=p/p_0\), \(\pi_1=p_1/p_0\). Смещения ртути: \(x_1\) — в первом манометре (в газе левое колено опускается, правое поднимается), \(x_2\) — во втором (колено с воздухом опускается).

1. Перепады на манометрах. Разность уровней в первом манометре \(2x_1\), во втором \(2x_2\). Равновесие столбов ртути (гидростатика) даёт \[p-p_1=2\rho g\,x_1,\qquad p_1-p_0=2\rho g\,x_2, \qquad\text{то есть}\qquad \pi-\pi_1=\frac{2x_1}{L},\quad \pi_1-1=\frac{2x_2}{L}.\]

2. Воздух между манометрами. Его объём вначале \(V_0=SL\) (в каждом колене свободная половина). Во втором манометре уровень опускается, объём растёт на \(Sx_2\), в первом поднимается, объём падает на \(Sx_1\): \(V=S(L+x_2-x_1)\). Изотермический процесс, закон Бойля — Мариотта для этого воздуха: \[p_0V_0=p_1V\quad\Rightarrow\quad \pi_1\Bigl(1+\frac{x_2-x_1}{L}\Bigr)=1 .\] Подставим \(x_1,x_2\) из пункта 1: \(\dfrac{x_2-x_1}{L}=\dfrac{2\pi_1-\pi-1}{2}\), откуда \[\pi_1\,(1+2\pi_1-\pi)=2 .\]

3. Предел измерения. Наибольшее давление достигается, когда ртуть первого манометра дошла до верха колена: \(x_1=\dfrac L2\), то есть \(\pi-\pi_1=1\) и \(\pi_1=\pi-1\). Подставим в уравнение пункта 2: \[(\pi-1)\,(1+2\pi-2-\pi)=(\pi-1)^2=2\ \Rightarrow\ \pi=1+\sqrt2\approx2{,}41 .\] Давление воздуха между манометрами при этом \(\pi_1=\sqrt2\approx1{,}41\), смещение во втором манометре \(x_2=\dfrac{\pi_1-1}{2}L\approx0{,}21\,L<\dfrac L2\): ртуть второго манометра до предела ещё не дошла.

Обратите внимание: давления нельзя просто сложить (получилось бы 3 атм: 1 атм за каждый манометр сверх атмосферного). Воздух между манометрами при смещении ртути в первом колене сжимается, и давление \(p_1\) растёт быстрее, чем если бы он «ничего не весил»; второй манометр использован лишь на пятую часть своего диапазона.

Ответ: абсолютное давление газа не больше \(p_{\max}=(1+\sqrt2)\,p_0\approx2{,}4\) атм, то есть превышение над атмосферным не более \(\sqrt2\approx1{,}4\) атм. Один манометр измеряет \(p_{\max}=2\) атм (превышение 1 атм).

Проверка. Один манометр: \(\pi-1=\dfrac{2x}{L}\le1\), \(\pi=2\) — как в условии. Предельный случай: если бы воздух между манометрами был бесконечно податлив (большой объём между ними), \(\pi_1=1+\dfrac{\pi-1}{2}\) и \(\pi=3\); у нас объём мал, и результат меньше: \(2{,}4<3\). Подстановка в уравнение пункта 2: \(\sqrt2\,(1+2\sqrt2-1-\sqrt2)=\sqrt2\cdot\sqrt2=2\) — верно.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.