Водяной пар в откачиваемом сосуде

При таком разрежении молекулы пролетают сквозь трещины по одной, не сталкиваясь: поток молекул сорта через щель пропорционален их концентрации и средней скорости. В установившемся режиме у каждого сорта приток равен откачке.

\(p_{\text{п}}=p_{\text{у}}\dfrac{\gamma}{1+\gamma}\approx2{,}3\cdot10^{-5}\) мм рт. ст., где \(\gamma=\dfrac{\varphi p_{\text{н}}}{p_0-\varphi p_{\text{н}}}\sqrt{\dfrac{M_{\text{в}}}{M_{\text{п}}}}\).

Что происходит. Внутри сосуда давление в миллион раз меньше атмосферного, длина свободного пробега молекул там порядка сантиметров, а микротрещины гораздо уже. Молекула, вошедшая в трещину, пролетает её, не сталкиваясь с другими: это поток отдельных молекул (эффузия), а не течение газа как целого. Через щель в единицу времени проходит число молекул сорта \(i\), пропорциональное \(n_i\bar v_i\), где \(\bar v_i\propto1/\sqrt{M_i}\) — средняя скорость. Лёгкие молекулы пара проходят чаще тяжёлых молекул воздуха, поэтому доля пара в сосуде больше, чем в наружном воздухе. Главная идея — сравнить потоки пара и воздуха через щель и приравнять их откачке.

Обозначения. Индексы «п» — пар, «в» — воздух; \(p_{\text{п}},p_{\text{в}}\) — парциальные давления в сосуде, \(p_{\text{п0}},p_{\text{в0}}\) — снаружи; \(M_{\text{в}}=29\) г/моль, \(M_{\text{п}}=18\) г/моль; температура одна и та же, поэтому концентрации пропорциональны давлениям. Обратным потоком из сосуда наружу пренебрегаем: давление внутри в \(10^{6}\) раз меньше. Конденсацией пара на стенках пренебрегаем.

1. Состав наружного воздуха. Относительная влажность — отношение давления пара к давлению насыщенного: \(p_{\text{п0}}=\varphi p_{\text{н}}=0{,}8\cdot17{,}5=14\) мм рт. ст. Остальное давление даёт воздух: \(p_{\text{в0}}=760-14=746\) мм рт. ст.

2. Поток через трещины. Число молекул сорта \(i\), прошедших через щель за единицу времени, равно \(\tfrac14 n_i\bar v_i S\) (\(S\) — площадь щелей). Так как \(n_i=p_i/(kT)\) и \(\bar v_i=\sqrt{8kT/(\pi m_i)}\), получаем \(\Phi_i\propto p_{i0}/\sqrt{M_i}\). Обратите внимание: если бы трещины были широкими и газ тёк как целое, состав смеси не менялся бы. Здесь же трещина «просеивает» молекулы по скоростям: быстрые лёгкие молекулы пара проходят чаще.

3. Установившийся режим. Насос забирает из сосуда смесь, не различая сорта: скорость откачки сорта \(i\) равна \(W n_i\), одна и та же \(W\) для обоих сортов. Давление внутри не меняется, поэтому у каждого сорта приток равен откачке: \(\Phi_i=Wn_i\). Отсюда \(p_{\text{п}}\propto p_{\text{п0}}/\sqrt{M_{\text{п}}}\), \(p_{\text{в}}\propto p_{\text{в0}}/\sqrt{M_{\text{в}}}\) с одним коэффициентом, и \[\gamma=\frac{p_{\text{п}}}{p_{\text{в}}}=\frac{p_{\text{п0}}}{p_{\text{в0}}}\sqrt{\frac{M_{\text{в}}}{M_{\text{п}}}}=\frac{14}{746}\sqrt{\frac{29}{18}}\approx0{,}0188\cdot1{,}269\approx0{,}0238.\]

4. Давление пара. Полное давление в сосуде \(p_{\text{у}}=p_{\text{п}}+p_{\text{в}}=p_{\text{п}}(1+1/\gamma)\): \[p_{\text{п}}=p_{\text{у}}\frac{\gamma}{1+\gamma}=10^{-3}\cdot\frac{0{,}0238}{1{,}0238}\approx2{,}3\cdot10^{-5}\text{ мм рт. ст.}\ (\approx3\cdot10^{-3}\text{ Па}).\]

Ответ: \(p_{\text{п}}\approx2{,}3\cdot10^{-5}\) мм рт. ст.

Проверка. Доля пара в сосуде \(2{,}33\,\%\) против \(14/760=1{,}84\,\%\) снаружи: больше в \(1{,}26\) раза, что близко к \(\sqrt{29/18}=1{,}27\) (рисунок). Предел \(\varphi\to0\) даёт \(p_{\text{п}}\to0\), как и должно быть без пара снаружи; при равных массах молекул доля пара осталась бы прежней, \(1{,}84\,\%\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.