Лампочка с диодом

Идеальный диод в одну сторону проводит без сопротивления, в другую не проводит совсем. В каждый момент ток лампочки найдите графически: нагрузочная прямая \(I=(u-U)/R\) пересекает вольтамперную характеристику.

Ток есть только в тот полупериод, когда диод заперт: он идёт в виде искажённой полуволны с максимумом \(\approx0{,}68\) А; во втором полупериоде ток равен нулю. Мощность на лампочке \(P\approx27\) Вт.

Что происходит. Идеальный диод в открытом направлении имеет нулевое сопротивление, в закрытом — бесконечное. Он включён параллельно лампочке. В полупериод, когда диод открыт, он закорачивает лампочку: напряжение на ней равно нулю, и ток по характеристике тоже нуль. В другой полупериод диод заперт, и лампочка соединена с резистором последовательно. Тогда нужно в каждый момент найти ток, при котором сумма напряжений на лампочке и на резисторе равна напряжению сети. Из-за нелинейности лампочки уравнение решаем графически. Главная идея — нагрузочная прямая на вольтамперной характеристике. Принимаем \(220\) В за амплитуду напряжения сети: график лампочки (рис. 6) обрывается как раз там, где пересекается прямая для амплитуды \(220\) В.

Обозначения. \(u=U_m\sin\omega t\) — напряжение сети, \(U_m=220\) В, \(T=20\) мс; \(U\) — напряжение на лампочке, \(I\) — ток через неё. Полярность диода — как на схеме: при \(u>0\) (первая половина периода, \(0<t<T/2\)) диод заперт, при \(u<0\) открыт.

1. Вторая половина периода. При \(u<0\) диод открыт и ток идёт через диод и резистор, лампочка закорочена: \(U=0\), значит \(I=0\). Мощность на лампочке равна нулю.

2. Первая половина периода. Диод заперт, ток течёт через резистор и лампочку. Запишем закон Ома для резистора и правило сложения напряжений: \[u=IR+U\quad\Rightarrow\quad I=\frac{u-U}{R}.\] В координатах \((U,I)\) это прямая: она пересекает ось \(U\) в точке \(U=u\) и ось \(I\) в точке \(I=u/R\). Искомые \(I\) и \(U\) — координаты пересечения этой прямой с вольтамперной характеристикой лампочки. Для \(\omega t=30^\circ,\,60^\circ,\,90^\circ\) построение показано на рисунке ниже (число у прямой — напряжение сети \(u\) в этот момент), остальные моменты — таблица.

Значения при \(\omega t\) и \(180^\circ-\omega t\) одинаковы. Ток лампочки — полуволна, похожая на синусоиду, но сплюснутая: рост тока при больших \(u\) тормозит резистор. Наибольший ток \(I_{\max}\approx0{,}68\) А при \(t=T/4=5\) мс.

3. Мощность. Мгновенная мощность на лампочке \(p=UI\). За период она отлична от нуля только в первой половине, поэтому среднее за период \[P=\frac1T\int_0^{T}p\,dt=\frac1{2\pi}\int_0^{\pi}p\,d(\omega t).\] Интеграл возьмём по формуле Симпсона с шагом \(15^\circ\) по значениям \(p\) из таблицы (на отрезке \(0\ldots\pi\) значения симметричны относительно \(\pi/2\)): \[P\approx\frac1{2\pi}\cdot2\cdot\frac{\pi/12}{3}\bigl[0+4(8+57+97)+2(30+81)+103\bigr]\approx27\text{ Вт}.\]

Обратите внимание: вольтамперная характеристика снята на постоянном токе, а здесь ток меняется за \(10\) мс. Мы считаем, что нить лампочки успевает следовать за током, как при постоянном: так и задумана задача, но реальная нить заметно сглаживает колебания температуры.

Ответ: график — полуволна тока (рисунок) с \(I_{\max}\approx0{,}68\) А и нулевой ток во второй половине периода; \(P\approx27\) Вт. Если понимать \(220\) В как действующее значение (амплитуда \(311\) В), то точка пересечения у вершины лежит за пределами графика; продолжение характеристики даёт тогда \(I_{\max}\approx0{,}78\) А и \(P\approx49\) Вт.

Проверка. Баланс мощностей: средняя мощность источника \(\langle uI\rangle\approx41{,}5\) Вт, из них на резисторе \(R\langle I^2\rangle\approx14{,}5\) Вт и на лампочке \(27{,}0\) Вт — сумма сходится. Предел: при \(R\to0\) лампочка в первой половине периода получала бы всё напряжение сети — мощность была бы больше; резистор вычитает часть напряжения. Размерность: \(UI\) — ватты.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.