Диоды, конденсатор и ключ

Пока ток через диод больше \(I_0\), на нём падает постоянное напряжение \(U_0\); при меньших токах диод ведёт себя как резистор \(U_0/I_0\). Разделите разрядку на два этапа.

Для приведённых в задаче числовых данных \(\mathcal{E} > 2U_0 + I_0(R + r)\), поэтому на каждом из диодов падает напряжение \(U_0\), а ток через диоды больше \(I_0\). Он равен \(I = (\mathcal{E} - 2U_0)/(R + r) = 0{,}1\) А, следовательно, на резисторе \(R\) падает напряжение \(IR = 1{,}6\) В, а на конденсаторе — напряжение \(U_1 = U_0 + IR = (rU_0 + R(\mathcal{E} - U_0))/(r + R) = 2{,}6\) В. Именно до такого напряжения и зарядится конденсатор после замыкания ключа.

При размыкании ключа ток через левый диод не течёт, поэтому на нём тепло не выделяется.

Процесс разрядки конденсатора можно разбить на два этапа: на первом этапе на диоде падает напряжение \(U_0\), а ток оказывается больше, чем \(I_0\). Этот случай реализуется, пока напряжение на конденсаторе превосходит величину \(U_2 = U_0 + I_0R = 1{,}8\) В.

Далее диод ведёт себя как резистор с сопротивлением \(R_{\text{д}} = U_0/I_0 = 20\) Ом. Найдём количества теплоты, выделяющиеся на диоде и резисторе на каждом из этапов.

1. На первом этапе на диоде выделяется теплота, равная произведению напряжения \(U_0\) на протёкший через диод заряд \(C(U_1 - U_2)\): \[Q_{\text{д}}^{\mathrm{I}} = C(U_1 - U_2)U_0 = CU_0R\left(\dfrac{\mathcal{E} - 2U_0}{r + R} - I_0\right) = 0{,}8\cdot 10^{-4}\text{ Дж}.\] Для того, чтобы рассчитать количество теплоты, выделяющееся на резисторе, заметим, что при напряжении \(U\) на конденсаторе ток через резистор в рассматриваемом процессе оказывается таким же, как и в случае разрядки конденсатора с напряжением \(U - U_0\) без диода. Поэтому количество теплоты \[Q_R^{\mathrm{I}} = \dfrac{C(U_1 - U_0)^2}{2} - \dfrac{C(U_2 - U_0)^2}{2} = \dfrac{CR^2}{2}(I^2 - I_0^2) = \dfrac{CR^2}{2}\left(\left(\dfrac{\mathcal{E} - 2U_0}{r + R}\right)^2 - I_0^2\right) = 0{,}96\cdot 10^4\text{ Дж}.\] Отметим, что для суммарного количества теплоты, выделяющегося на первом этапе, справедлив закон сохранения энергии: \[Q_{\text{д}}^{\mathrm{I}} + Q_R^{\mathrm{I}} = \dfrac{CU_1^2}{2} - \dfrac{CU_2^2}{2}.\] 2. На втором этапе количества теплоты, выделяющиеся на диоде и резисторе, относятся друг к другу, как величины сопротивлений диода и резистора, то есть \[\dfrac{Q_{\text{д}}^{\mathrm{II}}}{Q_R^{\mathrm{II}}} = \dfrac{R_{\text{д}}}{R} = \dfrac{5}{4}.\] Поскольку \(Q_{\text{д}}^{\mathrm{II}} + Q_R^{\mathrm{II}} = CU_2^2/2\), то отсюда получаем: \[Q_R^{\mathrm{II}} = \dfrac{R}{R_{\text{д}} + R}\cdot\dfrac{CU_2^2}{2} = \dfrac{CI_0R(U_0 + I_0R)}{2} = 0{,}72\cdot 10^{-4}\text{ Дж},\] \[Q_{\text{д}}^{\mathrm{II}} = \dfrac{R_{\text{д}}}{R_{\text{д}} + R}\cdot\dfrac{CU_2^2}{2} = \dfrac{CU_0(U_0 + I_0R)}{2} = 0{,}9\cdot 10^{-4}\text{ Дж}.\] Складывая количества теплоты, выделившиеся на первом и втором этапах, находим: \[Q_R = Q_R^{\mathrm{I}} + Q_R^{\mathrm{II}} = \dfrac{CR^2}{2}\left(\left(\dfrac{\mathcal{E} - 2U_0}{r + R}\right)^2 + \dfrac{I_0U_0}{R}\right) = 1{,}68\cdot 10^{-4}\text{ Дж},\] \[Q_{\text{д}} = Q_{\text{д}}^{\mathrm{I}} + Q_{\text{д}}^{\mathrm{II}} = \dfrac{CU_0R}{2}\left(\dfrac{(2\mathcal{E} - 3U_0)R + U_0r}{R(r + R)} - I_0\right) = 1{,}7\cdot 10^{-4}\text{ Дж}.\]