Линза в воде

Часть пучка идёт через линзу из воздуха, часть — из воды; каждая даёт своё изображение. Равная яркость означает, что через обе части проходит одинаковая энергия, то есть равны площади их оснований.

Изображения формируются следующим образом: часть пучка попадает на линзу в воздухе, преломляется на ней, затем преломляется на плоской поверхности линзы в воде и образует одно изображение на глубине \(l\); другая часть пучка попадает на линзу в воде и образует после преломлений второе изображение на глубине \(L > l\) (см. рис.).

Выразим расстояния до изображений \(l\) и \(L\) через радиус \(R\) выпуклой поверхности линзы и показатели преломления воды \(n_{\text{в}}\) и материала линзы \(n\).

Для этого рассмотрим луч света, проходящий на расстоянии \(x \ll R\) от главной оптической оси линзы и попадающий на неё в воздухе. Он падает на сферическую поверхность линзы под углом \(\alpha = x/R\) и преломляется под углом \(\beta = x/(Rn)\), поворачивая при этом на угол \(\gamma = \dfrac{x}{R}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)\). Под этим же углом он падает на плоскую поверхность линзы и преломляется под углом \(\delta = \dfrac{x}{R}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)\dfrac{n}{n_{\text{в}}}\), выходя в воду. Поскольку по условию линза тонкая, то \(\delta = x/l\), и расстояние \(l\) до изображения можно определить из следующего соотношения: \[\dfrac{x}{l} = \dfrac{x}{R}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)\dfrac{n}{n_{\text{в}}},\quad\text{то есть}\quad l = \dfrac{Rn_{\text{в}}}{n - 1}.\]

Аналогичным образом, рассматривая часть пучка, падающую на линзу в воде, находим расстояние до второго изображения: \[L = \dfrac{R}{\dfrac{n}{n_{\text{в}}} - 1} = \dfrac{Rn_{\text{в}}}{n - n_{\text{в}}}\] (эта формула получается заменой в выражении для \(l\) показателя преломления воздуха, равного 1, на показатель преломления воды \(n_{\text{в}}\)).

Из полученных соотношений находим: \[\dfrac{l}{L} = \dfrac{n - n_{\text{в}}}{n - 1},\quad\text{и}\quad n = n_{\text{в}}\dfrac{L - l}{L - l},\quad R = \dfrac{lL(n_{\text{в}} - 1)}{n_{\text{в}}(L - l)}.\] Найдём теперь глубину \(h\) погружения линзы в воду. Поскольку изображения оказываются одинаково яркими, то части пучка, падающие на линзу в воздухе и воде, переносят одинаковую энергию. Поэтому площади горизонтальных оснований частей линзы, покрытых и не покрытых водой, должны совпадать, и площадь основания выступающей из воды части линзы составляет \(1/2\) от площади основания всей линзы.

Найдём связь высоты \((H - h)\) выступающей из воды части линзы с радиусом \(r\) её основания (см. рисунок). По теореме Пифагора с учётом малости \(H\) по сравнению с \(R\) имеем: \[r^2 = R^2 - (R - (H - h))^2 \approx 2R(H - h),\] откуда площадь основания выступающей из воды части линзы равна \(S_1 = \pi r^2 \approx 2\pi R(H - h)\).

Аналогичным образом, площадь основания всей линзы равна \(S = \pi r_1^2 \approx 2\pi RH\), и поскольку \(S_1 = S/2\), то \(h = H/2\).