Две катушки и конденсатор

В контуре из одних катушек суммарный магнитный поток сохраняется. Это позволяет выразить оба тока через ток конденсатора и свести задачу к уравнению гармонических колебаний.

Пусть \(I_1\) и \(I_2\) — токи, текущие через катушки, \(Q\) — заряд на конденсаторе. Из закона сохранения электрического заряда следует: \(\Delta Q/\Delta t = I = I_1 + I_2\).

В контуре, состоящем только из катушек, суммарный магнитный поток сохраняется: \(L_1I_1 - L_2I_2 = \Phi_0 = L_1I_1^0 - L_2I_2^0 = \text{const}\). Следовательно, текущие через катушки токи выражаются через ток, текущий через конденсатор, и постоянную величину магнитного потока: \[I_1 = \dfrac{L_2I}{L_1 + L_2} + \dfrac{\Phi_0}{L_1 + L_2},\quad I_2 = \dfrac{L_1I}{L_1 + L_2} - \dfrac{\Phi_0}{L_1 + L_2}.\] ЭДС самоиндукции, действующая в каждой из катушек, равна \[\mathcal{E} = -L_1\dfrac{\Delta I_1}{\Delta t} = -L_2\dfrac{\Delta I_2}{\Delta t} = -\dfrac{L_1L_2}{L_1 + L_2}\cdot\dfrac{\Delta I}{\Delta t}.\] Поскольку \(Q/C = \mathcal{E}\), то заряд на конденсаторе и текущий через него ток удовлетворяют уравнению гармонических колебаний: \[\dfrac{L_1L_2}{L_1 + L_2}\cdot\dfrac{d^2Q}{dt^2} + \dfrac{Q}{C} = 0,\quad\text{или}\quad\dfrac{L_1L_2}{L_1 + L_2}\cdot\dfrac{d^2I}{dt^2} + \dfrac{I}{C} = 0.\] Частота этих колебаний равна \(\omega = \sqrt{\dfrac{L_1 + L_2}{L_1L_2C}}\).

Следовательно, зависимости от времени заряда на конденсаторе и текущего через него тока имеют вид: \[Q(t) = Q_0\sin(\omega t + \varphi),\quad I(t) = Q_0\omega\cos(\omega t + \varphi) = I_1(t) + I_2(t).\] Из начальных условий находим: \(\varphi = 0\), \(Q_0 = (I_1^0 + I_2^0)/\omega\). Следовательно, \[Q(t) = \dfrac{I_1^0 + I_2^0}{\omega}\sin\omega t,\] \[I_1(t) = \dfrac{L_1I_1^0 - L_2I_2^0}{L_1 + L_2} + \dfrac{L_2(I_1^0 + I_2^0)}{L_1 + L_2}\cos\omega t,\] \[I_2(t) = \dfrac{L_2I_2^0 - L_1I_1^0}{L_1 + L_2} + \dfrac{L_1(I_1^0 + I_2^0)}{L_1 + L_2}\cos\omega t.\]