Два конденсатора и катушка

Нижняя обкладка первого конденсатора и верхняя обкладка второго после замыкания ключа образуют изолированный проводник, и их суммарный заряд не меняется. Выразите оба заряда через один и запишите уравнение для катушки: получится уравнение гармонических колебаний.

\(q_1=\dfrac{q_0}{2}\,(1+\cos\omega t)\), \(\;q_2=\dfrac{q_0}{2}\,(1-\cos\omega t)\), \(\;I=\dfrac{q_0}{\sqrt{2LC}}\sin\omega t\), где \(\omega=\sqrt{\dfrac{2}{LC}}\). Механический аналог — брусок между двумя одинаковыми пружинами, одна из которых в начальный момент сжата, а другая не деформирована.

Что происходит. После замыкания ключа два конденсатора и катушка образуют один колебательный контур. Заряды конденсаторов связаны: внутренние обкладки соединены проводником, их суммарный заряд сохраняется, поэтому конденсатор, который разряжается, отдаёт заряд другому. Главная идея — записать закон сохранения заряда и уравнение для катушки, исключить один заряд и получить уравнение гармонических колебаний. Колебания идут не около нулевого заряда, а около состояния, в котором заряды поровну делят \(q_0\).

Обозначения. \(q_1\) — заряд верхней обкладки первого конденсатора (на нижней \(-q_1\)); \(q_2\) — заряд нижней обкладки второго конденсатора (на верхней \(-q_2\)); \(I>0\) — ток от верхней обкладки первого конденсатора через катушку к нижней обкладке второго (на рисунке по часовой стрелке). В начальный момент \(q_1=q_0\), \(q_2=0\), \(I=0\).

1. Закон сохранения заряда. Нижняя обкладка первого конденсатора и верхняя обкладка второго после замыкания ключа соединены проводником и ни с чем больше не связаны: система изолирована, поэтому её суммарный заряд не меняется. До замыкания он равен \(-q_0+0\), в любой момент после замыкания \(-q_1-q_2\): \[q_1+q_2=q_0 .\] Ток \(I\) приносит заряд на нижнюю обкладку второго конденсатора и уносит его с верхней обкладки первого, поэтому \(I=\dfrac{dq_2}{dt}=-\dfrac{dq_1}{dt}\).

2. Напряжение на катушке. Верхняя обкладка первого конденсатора выше нижней по потенциалу на \(q_1/C\), нижняя обкладка второго выше верхней на \(q_2/C\). Обкладки, соединённые ключом, имеют один потенциал, поэтому между верхним и нижним концами катушки напряжение \((q_1-q_2)/C\). Катушка без сопротивления: напряжение на ней равно \(L\,dI/dt\) (ток течёт сверху вниз). Подставим \(q_1=q_0-q_2\) и \(I=dq_2/dt\): \[L\frac{d^2q_2}{dt^2}=\frac{q_0-2q_2}{C}\quad\Rightarrow\quad \frac{d^2q_2}{dt^2}=-\frac{2}{LC}\left(q_2-\frac{q_0}{2}\right).\] Это уравнение гармонических колебаний около значения \(q_0/2\) с частотой \(\omega=\sqrt{2/(LC)}\), то есть два последовательных конденсатора работают как один ёмкостью \(C/2\).

3. Начальные условия. При \(t=0\): \(q_2=0\) и \(I=dq_2/dt=0\). Общее решение \(q_2=\dfrac{q_0}{2}+A\cos\omega t+B\sin\omega t\); из \(q_2(0)=0\) получаем \(A=-q_0/2\), из \(I(0)=0\) — \(B=0\): \[q_2=\frac{q_0}{2}(1-\cos\omega t),\qquad q_1=q_0-q_2=\frac{q_0}{2}(1+\cos\omega t),\qquad I=\frac{dq_2}{dt}=\frac{q_0\omega}{2}\sin\omega t=\frac{q_0}{\sqrt{2LC}}\sin\omega t .\]

Заряд каждого конденсатора колеблется между \(0\) и \(q_0\) с периодом \(T=2\pi\sqrt{LC/2}\); когда один заряжен полностью, второй не заряжен. Ток максимален в моменты, когда заряды равны: \(|I|_{\max}=q_0/\sqrt{2LC}\).

4. Механический аналог. Возьмём брусок массой \(m\) между двумя одинаковыми пружинами жёсткости \(k\) на гладком столе. Пусть смещение бруска \(x\) соответствует заряду \(q_2\): тогда правая пружина сжата на \(x\), а левая на \(q_0-x\) (соответствует \(q_1\)). Второй закон Ньютона для бруска в проекции на ось по смещению: \[m\ddot x=k(q_0-x)-kx=-2k\left(x-\frac{q_0}{2}\right),\] что совпадает с уравнением для \(q_2\) при замене \(x\leftrightarrow q_2\), \(m\leftrightarrow L\), \(k\leftrightarrow 1/C\), скорость бруска \(\leftrightarrow\) ток \(I\). Энергия \(\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{k(q_0-x)^2}{2}+\dfrac{kx^2}{2}\) соответствует энергии контура \(\dfrac{LI^2}{2}+\dfrac{q_1^2}{2C}+\dfrac{q_2^2}{2C}\). В начальный момент правая пружина не деформирована (аналог \(q_2=0\)), левая сжата на \(q_0\) (аналог \(q_1=q_0\)), брусок отпускают без скорости (аналог \(I=0\)).

Обратите внимание. Колебания идут около \(q_0/2\) с амплитудой \(q_0/2\), а не около нуля: заряд внутренних обкладок сохраняется, и заряды конденсаторов в сумме всегда дают \(q_0\). Частота определяется ёмкостью \(C/2\) двух последовательных конденсаторов, а не ёмкостью \(C\) одного.

Проверка. Размерность: \(\sqrt{2/(LC)}\) — это \(\text{с}^{-1}\), а \(q_0/\sqrt{2LC}\) — кулон в секунду, то есть ампер. Закон сохранения энергии: при \(\omega t=\pi/2\) заряды равны \(q_0/2\), ток максимален, и \(\dfrac{LI^2}{2}+\dfrac{q_1^2+q_2^2}{2C}=\dfrac{q_0^2}{4C}+\dfrac{q_0^2}{4C}=\dfrac{q_0^2}{2C}\) — это начальная энергия конденсатора, то есть энергия сохраняется. В начальный момент \(q_1=q_0\), \(q_2=0\), \(I=0\), как в условии.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.