Два конденсатора и катушка

Сначала заряд перетекает между конденсаторами по проводам без индуктивности, и ток в катушке в этот момент ещё нулевой. Сохраняется ли при этом энергия? Что сохраняется точно?

\(I_{\max}=U\sqrt{\dfrac{C}{2L}}\).

Что происходит. После замыкания ключа конденсатор \(A\) оказывается включённым параллельно \(B\) и катушке. Процесс идёт в два этапа. Первый — очень быстрый: заряд перетекает с \(A\) на \(B\) по проводам, в которых нет индуктивности, а ток в катушке не успевает измениться и остаётся нулевым. Второй — обычные колебания в контуре из катушки и двух конденсаторов, соединённых параллельно. Главная идея: на первом этапе энергия не сохраняется, зато сохраняется заряд; на втором этапе сохраняется энергия.

Обозначения. \(q_A,\;q_B\) — заряды на верхних (положительных) обкладках, \(u\) — напряжение на конденсаторах после выравнивания, \(I\) — ток в катушке.

1. Выравнивание зарядов. Закон сохранения заряда для двух конденсаторов, соединённых вместе: до замыкания \(q_A+q_B=CU+0\), после замыкания конденсаторы соединены параллельно и напряжение на них одно и то же, поэтому заряды делятся пополам, потому что ёмкости равны: \[q_A=q_B=\frac{CU}{2},\qquad u_0=\frac{q_A}{C}=\frac{U}{2}.\] Ток в катушке за это время не изменился: напряжение на ней конечно, а изменение тока \(\Delta I=\dfrac{1}{L}\int u\,dt\) при очень коротком времени мало. Поэтому сразу после выравнивания \(I=0\).

Обратите внимание: энергия на этом этапе не сохраняется. Было \(\dfrac{CU^2}{2}\), стало \(2\cdot\dfrac{C(U/2)^2}{2}=\dfrac{CU^2}{4}\): половина энергии уходит в нагрев проводов, искру в ключе и излучение, причём чем меньше сопротивление проводов, тем быстрее идёт выравнивание, но потеря половины от сопротивления не зависит. Если же приравнять \(\dfrac{CU^2}{2}=\dfrac{LI^2}{2}\), получится неверный ответ \(U\sqrt{C/L}\).

2. Колебания. После выравнивания параллельно катушке стоят два конденсатора — общая ёмкость \(2C\), напряжение на них \(u_0=U/2\), ток в катушке \(I=0\). Закон сохранения энергии для контура (потерь нет): энергия электрического поля \(2C\dfrac{u^2}{2}\) плюс энергия магнитного поля катушки \(\dfrac{LI^2}{2}\) постоянна. Ток максимален, когда напряжение на конденсаторах впервые обращается в нуль, то есть через четверть периода \(\dfrac{T}{4}=\dfrac{\pi}{2}\sqrt{2LC}\). Запишем энергию в начальный момент (ток нулевой) и в момент максимума тока (напряжение нулевое): \[\frac{2C\,u_0^2}{2}=\frac{L\,I_{\max}^2}{2} \ \Rightarrow\ I_{\max}=u_0\sqrt{\frac{2C}{L}}=\frac{U}{2}\sqrt{\frac{2C}{L}}=U\sqrt{\frac{C}{2L}}.\] Зависимости напряжения и тока от времени для второго этапа: \(u=\dfrac{U}{2}\cos\omega t\), \(I=I_{\max}\sin\omega t\), \(\omega=\dfrac{1}{\sqrt{2LC}}\) (рис.).

Ответ: \(I_{\max}=\dfrac{U}{2}\sqrt{\dfrac{2C}{L}}=U\sqrt{\dfrac{C}{2L}}\).

Проверка. Размерность: \(\sqrt{C/L}\) имеет размерность \(1/\text{Ом}\), а \(U\cdot(1/\text{Ом})\) — ампер. Предел: если бы конденсатор \(B\) был убран, остался бы контур из \(A\) и \(L\) с током \(U\sqrt{C/L}\); наличие второго конденсатора той же ёмкости уменьшает ток в \(\sqrt2\) раз — как и получилось (энергия контура вдвое меньше, \(\dfrac{CU^2}{4}\) вместо \(\dfrac{CU^2}{2}\), а \(I_{\max}\propto\sqrt{E}\)). Второй способ: за четверть периода через катушку проходит весь заряд пары конденсаторов, \(Q=2C\cdot\dfrac{U}{2}=CU\). Для синусоиды \(I=I_{\max}\sin\omega t\) этот заряд равен \(\int_0^{T/4}I\,dt=\dfrac{I_{\max}}{\omega}=I_{\max}\sqrt{2LC}\), откуда \(I_{\max}=\dfrac{CU}{\sqrt{2LC}}=U\sqrt{\dfrac{C}{2L}}\) — тот же ответ.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.