Фотография через окно

Предметы далеко, поэтому изображение лежит почти в фокальной плоскости, а размер изображения предмета пропорционален его размеру и обратно пропорционален расстоянию до него. Масштаб для высоты даст знакомый предмет рядом, например ручка окна, а точку на раме на высоте объектива подскажет сходимость горизонтальных переплётов.

\(H\approx45\text{ см}\);  \(L_0\approx3{,}3\text{ м}\);  \(L_{\text{м}}\approx104\text{ м}\) (расстояние от окна до мостика; от объектива до мостика около \(107\text{ м}\)). Точность чтения снимка около \(10\,\%\).

Что происходит. Предметы за окном далеко от объектива, поэтому резкое изображение получается в фокальной плоскости. Луч через центр линзы не преломляется, и из подобия треугольников размер изображения предмета обратно пропорционален расстоянию до него. Главная идея: сравнить размеры двух известных нам предметов на снимке и в натуре, а расстояния найти из подобия.

Обозначения. \(S\) — размер предмета в натуре, \(L\) — расстояние от него до объектива вдоль главной оптической оси, \(s'\) — размер его изображения на фотографии. Размеры на фотографии со штрихом, в натуре — без штриха. Размеры на снимке снимем с оригинальной фотографии (в журнале она уменьшена в \(2{,}7\) раза), как это сделали авторы статьи.

1. Размер изображения. Предмет высотой \(S\) на расстоянии \(L\gg f\) даёт изображение в фокальной плоскости. Для луча, идущего через центр линзы, треугольники с катетами \(S\), \(L\) и \(s\), \(f\) подобны (рис.): \[\frac{S}{L}=\frac{s}{f},\qquad s=\frac{fS}{L}.\] Фотография увеличена в \(n\) раз, поэтому на ней \[s'=ns=\frac{nfS}{L}.\] Формулой \(s=fS/L\) можно пользоваться и для окна: из формулы линзы \(d=\dfrac{fL_0}{L_0-f}\approx4{,}05\text{ см}\) вместо \(f=4\text{ см}\), то есть поправка около \(1\,\%\) — меньше, чем точность чтения снимка.

2. Высота объектива над подоконником. Судя по снимку, главная оптическая ось горизонтальна: иначе ширина оконной рамы \(d\) на фото была бы разной вверху и внизу окна. Горизонтальные переплёты рамы в натуре параллельны, а на фотографии их продолжения сходятся в одной точке \(P\). Горизонтальная плоскость, проходящая через ось объектива, пересекает снимок по прямой через \(P\) (горизонт). Эта прямая пересекает раму на высоте объектива, значит расстояние от неё до подоконника на снимке и есть изображение высоты \(H\).

Нужен масштаб: возьмём ручку окна, в натуре \(h\approx10\) см, на фото \(h'\approx1\) см. Расстояние от горизонта до подоконника на снимке в том же месте рамы \(H'\approx4{,}5\) см. Для обоих размеров по п. 1 множитель \(nf/L\) один и тот же (ручка и подоконник на одной глубине), поэтому \[\frac{H'}{h'}=\frac{H}{h},\qquad H=h\,\frac{H'}{h'}=10\text{ см}\cdot4{,}5\approx45\text{ см}.\] Обратите внимание: \(H\) — высота, она не зависит от того, как далеко от объектива точка рамы. Поэтому ручка может стоять на другой глубине, чем край окна, где мы будем мерить \(L_0\): важно только, чтобы \(H'\) и \(h'\) мерились на одном месте рамы.

3. Расстояние до окна. Берём на правом краю рамы отрезок \(AB\) от горизонта до подоконника: его длина в натуре \(AB=H=45\) см, на фото \(A'B'\approx5{,}5\) см. По п. 1 для этого отрезка \[\frac{A'B'}{n}=\frac{fH}{L_0},\qquad L_0=\frac{nfH}{A'B'}=\frac{10\cdot4\text{ см}\cdot45\text{ см}}{5{,}5\text{ см}}\approx327\text{ см}\approx3{,}3\text{ м}.\]

4. Расстояние до мостика. Масштаб теперь — высота перил мостика: в натуре \(r\approx80\) см, на фото \(r'\approx0{,}3\) см. Те же рассуждения (п. 1) для перил, расстояние от объектива до мостика \(L_{\text{м.о}}\): \[L_{\text{м.о}}=\frac{nfr}{r'}=\frac{10\cdot4\text{ см}\cdot80\text{ см}}{0{,}3\text{ см}}\approx1{,}07\cdot10^{4}\text{ см}\approx107\text{ м}.\] Расстояние от окна до мостика — разность расстояний от объектива вдоль оси: \[L_{\text{м}}=L_{\text{м.о}}-L_0\approx107\text{ м}-3{,}3\text{ м}\approx104\text{ м}.\] Обратите внимание: размер \(r'\approx0{,}3\) см на фото измерен с погрешностью в десятую долю сантиметра, то есть около \(10\,\%\) (при \(r'\approx0{,}3\) см это \(\pm0{,}03\) см). Поэтому \(L_{\text{м}}\) надёжно только как «около ста метров», а не как «\(104\)».

Ответ: \(H=h\dfrac{H'}{h'}\approx45\text{ см}\); \(L_0=\dfrac{nfH}{A'B'}\approx3{,}3\text{ м}\); \(L_{\text{м}}=\dfrac{nfr}{r'}-L_0\approx104\text{ м}\).

Проверка. Размерность: \(nfH/A'B'\) — см\(\cdot\)см/см = см, длина. Второй способ: отношение расстояний не зависит от \(nf\): \(\dfrac{L_{\text{м.о}}}{L_0}=\dfrac{r\,A'B'}{r'H}=\dfrac{80\cdot5{,}5}{0{,}3\cdot45}\approx33\), то есть \(\dfrac{107\text{ м}}{3{,}3\text{ м}}\approx33\) — совпало. Отдельно оценена поправка на то, что изображение окна лежит не точно в фокальной плоскости (около \(1\,\%\), п. 1): она мала по сравнению с точностью чтения снимка.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.