Падающая пластинка в магнитном поле

Куда направлена сила Лоренца, действующая на заряды пластинки, когда она движется вниз в горизонтальном поле, лежащем в её плоскости? Могут ли в пластинке возникнуть вихревые токи? Что заряжается вместо этого?

\(a=\dfrac{g}{1+\dfrac{\varepsilon_0\pi r^2 d\,B^2}{m}}=\dfrac{mg}{m+\varepsilon_0\pi r^2 d\,B^2}\) (в СИ); движение равноускоренное, ускорение чуть меньше \(g\).

Что происходит. Пластинка летит вниз в поле, лежащем в её плоскости. Сила Лоренца \(q\,\vec v\times\vec B\) на каждый заряд перпендикулярна и скорости, и полю, то есть направлена по нормали к пластинке (рис.). Вдоль плоскости ЭДС нет, замкнутому вихревому току взяться неоткуда. Заряды смещаются поперёк пластинки, на её гранях накапливаются поверхностные заряды, и пластинка работает как плоский конденсатор, напряжение на котором растёт вместе со скоростью. Пока скорость меняется, по пластинке поперёк течёт зарядный ток, и на него со стороны поля действует сила Ампера, направленная вверх. Главная идея: найти этот ток через ускорение и записать второй закон Ньютона.

Обозначения. Ось \(z\) вверх, ось \(x\) вдоль \(\vec B\) (в плоскости пластинки), ось \(y\) по нормали к пластинке. \(S=\pi r^2\) — площадь грани, \(V=Sd\) — объём пластинки, \(v\) — скорость падения, \(a=dv/dt\) — ускорение, \(\varepsilon_0\) — электрическая постоянная.

1. Поле внутри пластинки. Пока скорость постоянна, заряды в металле не движутся относительно пластинки: сила Лоренца на свободные электроны уравновешена электрической силой поля поверхностных зарядов. Для заряда \(q\) внутри металла \[q\vec E+q\,\vec v\times\vec B=0\ \Rightarrow\ E=vB,\] где \(\vec E\) направлен вдоль нормали (\(\vec E\perp\vec v\) и \(\vec E\perp\vec B\)), а положительные заряды сместились на ту грань, куда направлена \(\vec v\times\vec B\).

2. Поверхностный заряд. Толщина пластинки \(d\ll r\), поэтому поле двух заряженных граней однородно, как в плоском конденсаторе, и связано с поверхностной плотностью заряда соотношением \(E=\sigma/\varepsilon_0\). Значит, \[\sigma=\varepsilon_0 vB.\]

3. Ток при изменении скорости. Пусть за время \(dt\) скорость выросла на \(dv=a\,dt\). Поверхностная плотность заряда выросла на \(d\sigma=\varepsilon_0 B\,dv\), и этот заряд должен был пройти сквозь толщу пластинки с одной грани на другую. Плотность тока через пластинку \[j=\frac{d\sigma}{dt}=\varepsilon_0 B\,a,\] ток направлен вдоль нормали, то есть перпендикулярно \(\vec B\) (рис.). Полный ток через грань \(I=jS\).

4. Сила Ампера. На пластинку с током в поле \(\vec B\) действует сила, равная сумме сил на элементы объёма: \(d\vec F=\vec j\times\vec B\,dV\). Так как \(\vec j\perp\vec B\) и оба горизонтальны, \(\vec F\) вертикальна, а величина \[F=jBV=\varepsilon_0B^2a\,\pi r^2d.\] Направление: по правилу Ленца и по правилу векторного произведения сила направлена вверх, против движения (по рис.: \(\vec j\times\vec B\) с \(\vec j\) вдоль \(-y\) и \(\vec B\) вдоль \(+x\) даёт вектор по \(+z\)).

5. Второй закон Ньютона для пластинки в проекции на вертикаль вниз (\(a\) — ускорение вниз): силы — тяжесть \(mg\) вниз и сила Ампера \(F\) вверх. Сила Лоренца на заряды, движущиеся вместе с пластинкой, дополнительной силы не даёт: пластинка в целом нейтральна, и сила Лоренца на свободные электроны уравновешена электрической силой (п. 1). \[ma=mg-\varepsilon_0\pi r^2dB^2\,a.\] Отсюда \[a=\frac{mg}{m+\varepsilon_0\pi r^2dB^2}=\frac{g}{1+\dfrac{\varepsilon_0\pi r^2dB^2}{m}}.\] Обратите внимание: вихревых токов в плоскости пластинки нет, потому что ЭДС \(\vec v\times\vec B\) направлена по нормали и не может замкнуть контур в плоскости. Сила Ампера возникает только пока скорость меняется: при постоянной скорости ток нулевой, поэтому предельной скорости нет, пластинка падает равноускоренно.

Ответ: \(a=\dfrac{g}{1+\varepsilon_0\pi r^2dB^2/m}\).

Проверка. Размерность: \(\varepsilon_0B^2\) измеряется в \(\text{кг/м}^3\) (из \(\dfrac{\varepsilon_0E^2}{2}\) — плотность энергии, делить на \(v^2\)), умножаем на объём \(\pi r^2d\) — получаем килограммы, как \(m\). Предел: \(B\to0\) даёт \(a=g\). Второй способ — энергия: кинетическая энергия плюс энергия электрического поля граней \(W=\dfrac{m v^2}{2}+\dfrac{\varepsilon_0E^2}{2}V=\dfrac{(m+\varepsilon_0B^2V)v^2}{2}\) растёт за счёт работы тяжести: \(mg\,v=\dfrac{dW}{dt}=(m+\varepsilon_0B^2V)\,va\) — то же. Поле \(B\) как бы добавляет пластинке «электромагнитную массу» \(\varepsilon_0B^2V\); для \(B=1\) Тл, \(r=10\) см, \(d=1\) мм, \(m=100\) г добавка составляет около \(3\cdot10^{-15}\) от \(m\), то есть эффект мал.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.