Магнитная вязкость

Работа силы «вязкого трения» равна джоулевой теплоте токов в кольце. Найдите поток поля магнита через кольцо (через сферический сегмент, где поле нормально), затем ЭДС и мощность.

\(F=\dfrac{36\pi^2a^4b^2z^2}{R\left(a^2+z^2\right)^5}\,V\) (сила направлена против скорости магнита).

При изменении магнитного потока через проводящий контур в нем возникает ЭДС индукции, приводящая к появлению электрического тока. Эти токи создают свое магнитное поле, которое взаимодействует с движущимся

магнитом, вследствие чего и появляются силы «вязкого трения». Существует достаточно простой метод расчета этих сил: работа сил трения в точности равна количеству Джоулевой теплоты индукционных токов. Поэтому решение данной задачи сводится к вычислению мощности индукционного тока в кольце с последующим расчетом силы вязкости.

Вычислим магнитный поток через кольцо. Этот поток удобно рассчитывать через участок сферической поверхности \(\Omega\), опирающейся на кольцо, с центром, находящимся в центре магнита. На этой поверхности радиальная составляющая магнитного поля является нормальной, поэтому магнитный поток через малую площадку \(\Delta S\) равен \(\Delta \Phi = B_r \Delta S\). Поток через контур вычисляется как сумма потоков через все малые площадки на рассматриваемом участке сферы

\[\Phi = \sum_i B_{ri} \Delta S_i = \sum_i b \frac{2 \cos \theta_i}{r^3} \Delta S_i = \frac{2b}{r^3} \sum_i \Delta S_i \cos \theta_i.\tag{1}\]

Можно заметить, что \(\Delta S_i \cos \theta_i\) является площадью проекции площадки \(\Delta S_i\) на площадь кольца. Поэтому сумма, стоящая в формуле (1), равна площади кольца \(\pi a^2\). По теореме Пифагора радиус сферы равен \(r = \sqrt{a^2 + z^2}\). Следовательно, поток через кольцо определяется формулой

\[\Phi = \frac{2 \pi b a^2}{\left(a^2 + z^2\right)^{3/2}}.\tag{3}\]

Согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС индукции равна производной от магнитного потока по времени

\[E = -\Phi' = \frac{6 \pi a^2 b z V}{\left(a^2 + z^2\right)^{5/2}}.\tag{4}\]

При выводе последнего соотношения учтено, что производная от \(z\) равна скорости движения магнита \(V\). По закону Джоуля-Ленца вычислим мощность теплоты, выделяющейся в стержне

\[P = \frac{E^2}{R} = \frac{1}{R} \left( \frac{6 \pi a^2 b z V}{\left(a^2 + z^2\right)^{5/2}} \right)^2 = \frac{36 \pi^2 a^4 b^2 z^2}{R \left(a^2 + z^2\right)^5} V^2.\tag{5}\]

Равная ей мощность, развиваемая силами вязкости, рассчитывается «по определению» \(P = FV\). Из равенства найденных мощностей получаем выражение для магнитной силы

\[F = \frac{36 \pi^2 a^4 b^2 z^2}{R \left(a^2 + z^2\right)^5} V.\tag{6}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.