Полость в астероиде

Мысленно заполните полость обратно: добавленная масса восстановит прежнее \(g_0\) в обеих точках. Запишите это для точек \(A\) и \(B\) и решите получившуюся систему.

Центр полости лежит на диаметре \(AB\) на расстоянии \(a=2R\dfrac{\sqrt{\eta_2}}{\sqrt{\eta_2}+\sqrt{\eta_1}}\approx0{,}503R\approx\dfrac R2\) от точки \(A\); радиус полости \(r=R\sqrt[3]{\dfrac{4\eta_1\eta_2}{(\sqrt{\eta_1}+\sqrt{\eta_2})^2}}\approx0{,}250R\approx\dfrac R4\).

Наименьшее значение ускорения свободного падения \(g_{\text{min}} = 0{,}938 \, g_0\) на поверхности астероида достигается в точке, где верхний край полости подходит к поверхности астероида ближе всего. Следовательно, центр полости (точка \(C\) на рисунке) расположен на отрезке \(\text{АО}\) на некоторой неизвестной глубине \(\text{АС} = a\), где точка \(O\) — центр однородного астероида.

Масса изъятой из астероида в процессе разработки породы \(m = \rho \frac{4}{3} \pi r^3\), где \(\rho\) — плотность вещества

астероида, \(r\) — искомый радиус полости. Для решения задачи мысленно «добавим» выработанную породу обратно. Тогда на всей поверхности астероида должно «восстановится» прежнее значение ускорения свободного падения — \(g_0\). Но с другой стороны для точки \(A\) можем записать

\[g_0 = g_{min} + \Delta g_A,\]

где \(\Delta g_A\) — ускорение, создаваемое добавленной массой. С учетом закона гравитации Ньютона получаем

\[\Delta g_A = G \frac{4/3 \pi r^3 \rho}{a^2}.\]

Аналогичное равенство можно записать и для точки \(B\) астероида

\[g_0 = g_{max} + \Delta g_B,\]

где \(\Delta g_B = G \frac{4/3 \pi r^3 \rho}{(2R-a)^2}\). Таким образом, для нахождения глубины залегания центра полости \(a\) и ее радиуса \(r\) имеем систему уравнений

\[g_{min} = g_A = \frac{4}{3} G \pi \rho (R - \frac{r^3}{a^2})\tag{1}\]

\[g_{max} = g_B = \frac{4}{3} G \pi \rho (R - \frac{r^3}{(2R-a)^2}).\tag{2}\]

Выражая из первого уравнения

\[r^3 = \frac{3}{4 G \pi \rho} a^2 (g_0 - g_{min})\]

и подставляя полученное значение во второе уравнение, найдем

\[a = 2R \frac{\sqrt{g_0 - g_{max}}}{\sqrt{g_0 - g_{max}} + \sqrt{g_0 - g_{min}}} = 2R \frac{\sqrt{\eta_2}}{\sqrt{\eta_2} + \sqrt{\eta_1}}.\tag{3}\]

Соответственно, для радиуса полости имеем

\[r = R \sqrt[3]{\frac{4(g_0 - g_{max})(g_0 - g_{min})}{g_0 (\sqrt{g_0 - g_{max}} + \sqrt{g_0 - g_{min}})^2}} = R \sqrt[3]{\frac{4 \eta_2 \eta_1}{(\sqrt{\eta_2} + \sqrt{\eta_1})^2}}.\tag{4}\]

Подставляя в (3) и (4) числовые данные, находим

\[a = 0{,}503 R \approx \frac{R}{2}; \quad r = 0{,}250 R \approx \frac{R}{4}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.