Четыре тела в вершинах квадрата

Тела движутся по окружности радиуса \(R = \dfrac{a}{\sqrt2}\) с центром в центре квадрата. На каждое тело действуют силы притяжения со стороны двух соседних тел (расстояние \(a\)), направленные под углом \(45^\circ\) к радиусу, и со стороны противоположного тела (расстояние \(a\sqrt2\)), направленная к центру. Суммарная сила, направленная к центру, \[F = \frac{2Gm^2}{a^2}\cos45^\circ + \frac{Gm^2}{2a^2} = \frac{Gm^2}{a^2}\left(\sqrt2 + \frac12\right).\] Второй закон Ньютона \(\dfrac{mv^2}{R} = F\) с \(R = a/\sqrt2\) даёт \[v^2 = \frac{Gm}{a}\cdot\frac{4 + \sqrt2}{4}.\] Отсюда \(a = \dfrac{(4 + \sqrt2)Gm}{4v^2}\) и \(v = \sqrt{\dfrac{(4 + \sqrt2)Gm}{4a}}\).