Пушечное ядро

Выразите начальную энергию ядра через \(H\) (так, как считал Юку), а затем запишите закон сохранения энергии с настоящей потенциальной энергией \(-GMm/r\).

\(h=\dfrac{RH}{R-H}\approx 427\) км.

Исходим из того, что должен выполняться закон сохранения энергии. Если в момент выстрела скорость ядра равна \(v\), то в начальный момент энергия \(E_1=mv^2/2-GMm/R\), где \(M\) — масса Земли, а \(m\) — масса ядра. В самой высокой точке вертикальная скорость ядра равна нулю, поэтому энергия равна \(E_2=-GMm/(R+h)\), где \(h\) — высота ядра над поверхностью Земли. По закону сохранения энергии эти энергии должны быть равны: \[E_1=E_2\ \to\ \frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{R}=-\frac{GMm}{R+h}.\] Сказано, что если бы напряжённость поля тяготения в каждой точке траектории ядра была равна ускорению свободного падения на поверхности Земли, то ядро поднялось бы на высоту \(H\). То есть \(mv^2/2=mgH\), и, подставляя \(g=GM/R^2\), получаем \(v^2/2=GMH/R^2\). Подставляя это в равенство выше, получаем: \[\frac{GMm}{R^2}H-\frac{GMm}{R}=-\frac{GMm}{R+h}\ \to\ \frac{H}{R^2}-\frac1R=-\frac1{R+h},\] \[h=\frac{R^2}{R-H}-R=\frac{RH}{R-H}\approx 427\text{ км}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.