Лупа

Выпуклую поверхность полушария вблизи центра можно считать тонкой линзой; найдите её фокусное расстояние из хода параксиального луча, а затем постройте изображение бумаги.

Увеличение \(y/y_0=n=1{,}5\).

Центральную часть выпуклой поверхности полушария можно рассматривать как отдельную тонкую линзу, фокусное расстояние \(f\) которой и расстояние до поверхности бумаги (равное радиусу \(R\) выпуклой поверхности) определяют увеличение изображения. Чтобы определить фокусное расстояние этой эквивалентной линзы, рассмотрим луч света, идущий параллельно главной оптической оси и после преломления собирающийся в фокусе (см. рисунок). Если луч распространяется вблизи оптической оси, то все возникающие при преломлении углы малы, так что получаем условие \[\alpha R\approx f\varphi .\] Очевидно, \[\varphi=\alpha-\beta=\alpha-\alpha/n=\alpha(1-1/n).\] Комбинируя эти соотношения, углы сокращаются, и получаем \(f=nR/(n-1)\). Очевидно, расстояние предмета (поверхности бумаги) от линзы равно \(R\), причём \(f>R\), следовательно, возникает мнимое изображение где-то за бумагой. Все расстояния всё же порядка \(R\), поэтому увеличение, наблюдаемое глазом с большого расстояния (то есть угловое увеличение), практически совпадает с линейным увеличением \(y/y_0\). Из подобных треугольников, возникающих при построении изображения, получаем \[\frac y{y_0}=\frac f{f-R}=n=1{,}5.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.